16. (10 分)在学习了三角形后,老师给同学们每人准备了一根 12 cm 长的木棒,让同学们通过剪拼的形式,制作一个三角形木框.
(1)小明想把木棒剪成三段,第一段长 a cm,第二段的长比第一段的 3 倍少 2 cm. 试判断第一段的长能否为 3 cm,并说明理由;
(2)小亮先把木棒剪成如图所示的 AB = 4 cm 和 CD = 8 cm 的两段,现要将木棒 CD 从 P 处剪开,使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形,请直接写出符合条件的 CP 的整数长度.

(1)第一段的长不能为$3cm$。
(2)$CP$的整数长度可以为$3\mathrm{cm}$,$4\mathrm{cm}$,$5\mathrm{cm}$。

(1) 当 $a = 3$ 时：
第一段 $a = 3 \, \mathrm{cm}$，
第二段 $3a - 2 = 3 × 3 - 2 = 7 \, \mathrm{cm}$，
第三段 $12 - a - (3a - 2) = 12 - 3 - 7 = 2 \, \mathrm{cm}$。
由于 $3 + 2 ＜ 7$，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，因此第一段的长不能为 $3 \, \mathrm{cm}$。
(2) 设 $CP = x \, \mathrm{cm}$，则三段长度分别为 $4 \, \mathrm{cm}$, $x \, \mathrm{cm}$, $8 - x \, \mathrm{cm}$。
根据三角形的三边关系，有以下不等式组：
$\begin{cases}4 + x ＞ 8 - x, \\4 + (8 - x) ＞ x, \\x + (8 - x) ＞ 4.\end{cases}$
解第一个不等式 $4 + x ＞ 8 - x$，得 $2x ＞ 4$，即 $x ＞ 2$。
解第二个不等式 $4 + (8 - x) ＞ x$，得 $12 - x ＞ x$，即 $x ＜ 6$。
第三个不等式 $x + (8 - x) ＞ 4$ 显然总是成立。
综合以上三个不等式，得到 $2 ＜ x ＜ 6$。
由于 $x$ 必须是整数，因此 $x$ 可以取 $3, 4, 5$。

17. (12 分)大到市民广场,小到家居装修,我们常常用形状各异的瓷砖来铺设地面.

探究:正多边形的平面图形密铺
正多边形是指各边相等、各角相等的多边形.
用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接,彼此之间既无空隙又不重叠,这就是正多边形的共顶点密铺.共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为 360°.
共顶点单一密铺:仅用同一种正多边形密铺.
如图可知,正五边形不能共顶点单一密铺,可用下面的方法说明.
解:设有 x 个正五边形. 因为正五边形的每一个内角为 108°,
若想用 x 个 108°围成 360°,则 108x = 360,解得 x = $\frac{10}{3}$(不符合题意).
所以正五边形不可以共顶点单一密铺.
问题 1:探索正三角形能不能共顶点单一密铺? 请用上述方法说明;
问题 2:符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种,请尝试再找出一种,并说明理由;
问题 3(创意设计):选取三种形状不同,但边长相等的正多边形进行共顶点组合铺,请写出设计方案.

问题 1：能；
问题 2：正方形(答案不唯一)；
问题 3：正三角形，正方形，正六边形(答案不唯一)。

问题1:
设用 $y$ 个正三角形，正三角形的每个内角为 $60°$。
若想用 $y$ 个 $60°$ 围成 $360°$，则 $60y = 360$，
解得 $y = 6$。
因此，正三角形能共顶点单一密铺。
问题2:
设用 $z$ 个正方形，正方形的每个内角为 $90°$。
若想用 $z$ 个 $90°$ 围成 $360°$，则 $90z = 360$，
解得 $z = 4$。
因此，正方形能共顶点单一密铺。
问题3:
选择正三角形、正方形和正六边形进行共顶点组合密铺。
设用 $a$ 个正三角形，$b$ 个正方形，$c$ 个正六边形。
正三角形的每个内角为 $60°$，正方形的每个内角为 $90°$，正六边形的每个内角为 $120°$。
若想用 $a$ 个 $60°$，$b$ 个 $90°$ 和 $c$ 个 $120°$ 围成 $360°$，
则$60a + 90b + 120c = 360$。
一种可能的解是 $a = 1, b = 2, c = 1$，因为：
$60 × 1 + 90 × 2 + 120 × 1 = 60 + 180 + 120 = 360$。
因此，正三角形、正方形和正六边形可以进行共顶点组合密铺。