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1. 图中∠1 是三角形一个外角的是 ()
答案
A
解析
三角形的外角是三角形的一边与另一边的延长线组成的角。选项A中∠1是三角形一边延长线与另一边组成的角，符合外角定义；选项B、C、D中的∠1均不符合。
2. 以下列每组数为长度(单位:cm)的三根小木棒,其中能搭成三角形的是 ()
A. 2,2,4
B. 1,2,3
C. 3,4,5
D. 3,4,8
A. 2,2,4
B. 1,2,3
C. 3,4,5
D. 3,4,8
答案
C
解析
根据三角形两边之和大于第三边的原则，分别检验各选项：
A. 2+2=4，不满足；
B. 1+2=3，不满足；
C. 3+4＞5、3+5＞4、4+5＞3，满足；
D. 3+4＜8，不满足。
A. 2+2=4，不满足；
B. 1+2=3，不满足；
C. 3+4＞5、3+5＞4、4+5＞3，满足；
D. 3+4＜8，不满足。
3. 在△ABC 中,如果∠A = 91°+∠B,那么△ABC 是 ()
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 锐角三角形或钝角三角形
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 锐角三角形或钝角三角形
答案
B
解析
在△ABC中，∠A=91°+∠B，因为∠B＞0°，所以∠A＞91°，即∠A为钝角，所以△ABC是钝角三角形。
4. 如图,在△ABC 中,∠1 = ∠2,G 为 AD 的中点,延长 BG 交 AC 于点 E,F 为 AB 上一点,CF⊥AD 于点 H,下面判断正确的有 ()
①AD 是△ABE 的角平分线;
②BE 是△ABD 边 AD 上的中线;
③CH 是△ACD 边 AD 上的高.
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
①AD 是△ABE 的角平分线;
②BE 是△ABD 边 AD 上的中线;
③CH 是△ACD 边 AD 上的高.
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
答案
B
解析
①AD是否为△ABE的角平分线：∠1=∠2即∠BAD=∠CAD，但AD交BE于G，△ABE的角平分线需平分∠BAE且交对边BE于点，AG才是角平分线，AD不是，故①错误；②BE是否为△ABD边AD上的中线：G为AD中点，△ABD边AD上的中线是BG，BE是BG延长线，故②错误；③CH是否为△ACD边AD上的高：CF⊥AD于H，CH是从C向AD作的垂线，垂足H在AD上，符合高的定义，故③正确。正确的有1个。
5. 在等腰三角形中,有一个角是 50°,它的一条腰上的高与底边的夹角是 ()
A. 25°
B. 25°或 35°
C. 25°或 40°
D. 40°
A. 25°
B. 25°或 35°
C. 25°或 40°
D. 40°
答案
C
解析
本题可分情况讨论该$50^{\circ}$角是等腰三角形的顶角还是底角，再根据三角形内角和定理以及直角三角形的性质求出腰上的高与底边的夹角。
情况一：当$50^{\circ}$角为等腰三角形的顶角时
已知等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得底角为$\frac{1}{2}×(180^{\circ} - 50^{\circ}) = 65^{\circ}$。
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB = AC$，$BD$是腰$AC$上的高，在$Rt△ BDC$中，$∠ C = 65^{\circ}$，因为直角三角形两锐角互余，所以$∠ DBC = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ}$。
情况二：当$50^{\circ}$角为等腰三角形的底角时
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB = AC$，$BD$是腰$AC$上的高，此时$∠ C = 50^{\circ}$，在$Rt△ BDC$中，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ DBC = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$。
综合以上两种情况，它一条腰上的高与底边的夹角是$25^{\circ}$或$40^{\circ}$。
情况一：当$50^{\circ}$角为等腰三角形的顶角时
已知等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得底角为$\frac{1}{2}×(180^{\circ} - 50^{\circ}) = 65^{\circ}$。
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB = AC$，$BD$是腰$AC$上的高，在$Rt△ BDC$中，$∠ C = 65^{\circ}$，因为直角三角形两锐角互余，所以$∠ DBC = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ}$。
情况二：当$50^{\circ}$角为等腰三角形的底角时
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB = AC$，$BD$是腰$AC$上的高，此时$∠ C = 50^{\circ}$，在$Rt△ BDC$中，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ DBC = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$。
综合以上两种情况，它一条腰上的高与底边的夹角是$25^{\circ}$或$40^{\circ}$。
6. 如图,将一等边三角形剪去一个角后,∠1+∠2 等于 ()
A. 120°
B. 240°
C. 300°
D. 360°
A. 120°
B. 240°
C. 300°
D. 360°
答案
B
解析
本题可先根据等边三角形的性质求出原等边三角形的三个内角的和以及剪去一个角后剩下的四边形内角和，再通过四边形内角和与剩余两个角的关系求出$∠1 + ∠2$的值。
步骤一：求出等边三角形的内角和
根据等边三角形的性质可知，等边三角形的三个内角都相等，且都为$60^{\circ}$，所以其内角和为$60^{\circ}×3 = 180^{\circ}$。
步骤二：求出剪去一个角后剩下的四边形的内角和
根据多边形内角和公式：$(n - 2)×180^{\circ}$（其中$n$为多边形的边数），可得四边形内角和为$(4 - 2)×180^{\circ}= 360^{\circ}$。
步骤三：计算$∠1 + ∠2$的值
剪去一个角后剩下的四边形中，除了$∠1$和$∠2$外的另外两个角是原等边三角形的两个内角，均为$60^{\circ}$。
因为四边形内角和为$360^{\circ}$，所以$∠1 + ∠2 + 60^{\circ} + 60^{\circ} = 360^{\circ}$，移项可得$∠1 + ∠2 = 360^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 240^{\circ}$。
步骤一：求出等边三角形的内角和
根据等边三角形的性质可知，等边三角形的三个内角都相等，且都为$60^{\circ}$，所以其内角和为$60^{\circ}×3 = 180^{\circ}$。
步骤二：求出剪去一个角后剩下的四边形的内角和
根据多边形内角和公式：$(n - 2)×180^{\circ}$（其中$n$为多边形的边数），可得四边形内角和为$(4 - 2)×180^{\circ}= 360^{\circ}$。
步骤三：计算$∠1 + ∠2$的值
剪去一个角后剩下的四边形中，除了$∠1$和$∠2$外的另外两个角是原等边三角形的两个内角，均为$60^{\circ}$。
因为四边形内角和为$360^{\circ}$，所以$∠1 + ∠2 + 60^{\circ} + 60^{\circ} = 360^{\circ}$，移项可得$∠1 + ∠2 = 360^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 240^{\circ}$。
7. 游戏中有数学智慧，“找起点”游戏规定:如图,从起点走五段相等直路之后回到起点,要求每走完一段直路后向右边偏行,成功的招数不止一招,可助我们成功的一招是()
A. 每走完一段直路后沿向右偏 72°方向行走
B. 每段直路要短
C. 每走完一段直路后沿向右偏 108°方向行走
D. 每段直路要长
A. 每走完一段直路后沿向右偏 72°方向行走
B. 每段直路要短
C. 每走完一段直路后沿向右偏 108°方向行走
D. 每段直路要长
答案
A
解析
根据题意，该游戏要求走五段相等的直路后回到起点，并且每次走完一段后向右偏行。这实际上是在形成一个正多边形，且边数为5。对于正多边形来说，外角和为360°，所以每次转向的角度应为360°/5 = 72°。因此，每走完一段直路后向右偏72°方向行走可以满足题目要求。
8. 一天,李明和爸爸一起到建筑工地去,看见了一个如图所示的“人”字架,爸爸说:“李明,我考考你! 这个‘人’字架中的∠3 = 110°,你能求出∠1 比∠2 大多少吗?”请你帮李明计算一下,正确的答案是 ()
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
答案
C
解析
设∠2的对顶角为∠4，则∠2=∠4。∠3是三角形的外角，所以∠3=∠1+∠4=∠1+∠2=110°。又因为∠1与∠2的邻补角之和为180°，即∠1+(180°-∠2)=180°+∠1-∠2。但由∠1+∠2=110°，两式相减得∠1-∠2=70°。
