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一、选择题(每小题 4 分,共 32 分)
1. 如图,四边形 $ABCD$ 的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是 ()
A. $AB = CD$
B. $AD = BC$
C. $AB = BC$
D. $AC = BD$
1. 如图,四边形 $ABCD$ 的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是 ()
A. $AB = CD$
B. $AD = BC$
C. $AB = BC$
D. $AC = BD$
答案
D
解析
因为四边形ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形。要使平行四边形成为矩形，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，所以需要添加的条件是AC=BD。
2. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$AC = 8$,$BD = 6$,则 $△ ABD$ 的周长等于 ()
A.$20$
B.$18$
C.$16$
D.$14$
A.$20$
B.$18$
C.$16$
D.$14$
答案
C
解析
在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，菱形对角线互相垂直平分，所以AO=4，BO=3。在Rt△AOB中，AB=√(AO²+BO²)=√(4²+3²)=5。因为菱形四边相等，所以AB=AD=5，BD=6，△ABD周长=AB+AD+BD=5+5+6=16。
3. 如图,矩形的两条对角线的一个夹角为 $60^{\circ}$,两条对角线的长度的和为 $20\mathrm{cm}$,则这个矩形的一条较短边的长度为 ()
A.$10\mathrm{cm}$
B.$8\mathrm{cm}$
C.$6\mathrm{cm}$
D.$5\mathrm{cm}$
A.$10\mathrm{cm}$
B.$8\mathrm{cm}$
C.$6\mathrm{cm}$
D.$5\mathrm{cm}$
答案
D
解析
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD，∴OA=OB。∵AC+BD=20cm，∴AC=BD=10cm，∴OA=OB=5cm。∵两条对角线的一个夹角∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=5cm，即矩形较短边的长度为5cm。
4. 数学实践课上老师用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形教具,他先活动教具成为图 1 所示的菱形,并测得 $∠ B = 60^{\circ}$,接着活动教具成为图 2 所示的正方形,并测得对角线 $AC = 20$,则图 1 中菱形的对角线 $BD$ 的长为 ()
A.$10\sqrt{2}$
B.$20$
C.$10\sqrt{6}$
D.$20\sqrt{3}$
A.$10\sqrt{2}$
B.$20$
C.$10\sqrt{6}$
D.$20\sqrt{3}$
答案
C
解析
设木条长度为$a$。在图2正方形中，对角线$AC=20$，由正方形对角线与边长关系$AC = a\sqrt{2}$，得$20 = a\sqrt{2}$，解得$a = 10\sqrt{2}$，即菱形边长为$10\sqrt{2}$。
在图1菱形中，$∠ B = 60°$，连接对角线$AC$、$BD$交于点$O$，则$AC ⊥ BD$，$∠ ABO = 30°$，$BO = \frac{1}{2}BD$。在$Rt△ ABO$中，$\cos 30° = \frac{BO}{AB}$，$AB = 10\sqrt{2}$，故$BO = AB · \cos 30° = 10\sqrt{2} · \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{6}$，则$BD = 2BO = 10\sqrt{6}$。
在图1菱形中，$∠ B = 60°$，连接对角线$AC$、$BD$交于点$O$，则$AC ⊥ BD$，$∠ ABO = 30°$，$BO = \frac{1}{2}BD$。在$Rt△ ABO$中，$\cos 30° = \frac{BO}{AB}$，$AB = 10\sqrt{2}$，故$BO = AB · \cos 30° = 10\sqrt{2} · \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{6}$，则$BD = 2BO = 10\sqrt{6}$。
5. 四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$. 有下列条件:①$OA = OC$,$OB = OD$;②$AC = BD$;③$AC⊥ BD$;④矩形 $ABCD$;⑤菱形 $ABCD$;⑥正方形 $ABCD$. 则下列推理正确的是 ()
A.②③$⇒$⑥
B.①②$⇒$⑤
C.①③$⇒$④
D.②⑤$⇒$⑥
A.②③$⇒$⑥
B.①②$⇒$⑤
C.①③$⇒$④
D.②⑤$⇒$⑥
答案
D
解析
条件①：OA=OC，OB=OD⇒四边形ABCD是平行四边形；条件②：AC=BD（对角线相等）；条件③：AC⊥BD（对角线垂直）；条件④⑤⑥为结论。
A. ②③（对角线相等且垂直），仅对角线关系无法判定为平行四边形，更不能推出正方形，错误；
B. ①②（平行四边形且对角线相等）⇒矩形（④），非菱形（⑤），错误；
C. ①③（平行四边形且对角线垂直）⇒菱形（⑤），非矩形（④），错误；
D. ②⑤（菱形且对角线相等），菱形对角线相等时为正方形（⑥），正确。
A. ②③（对角线相等且垂直），仅对角线关系无法判定为平行四边形，更不能推出正方形，错误；
B. ①②（平行四边形且对角线相等）⇒矩形（④），非菱形（⑤），错误；
C. ①③（平行四边形且对角线垂直）⇒菱形（⑤），非矩形（④），错误；
D. ②⑤（菱形且对角线相等），菱形对角线相等时为正方形（⑥），正确。
6. 如图,$E$ 是矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 的延长线上一点. 若 $BE = \frac{1}{2}AC$,$∠ ACB = 62.5^{\circ}$,则 $∠ E$ 的度数为 ()
A.$55^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$
A.$55^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$
答案
A
解析
在矩形ABCD中，对角线AC=BD，且互相平分，故AO=OC=BO=OD=1/2AC。已知BE=1/2AC，所以BE=BO，△BOE为等腰三角形，∠E=∠BOE。
∠ACB=62.5°，在Rt△ABC中，∠BAC=90°-62.5°=27.5°。
因为AO=BO，所以∠OBA=∠BAC=27.5°，则∠AOB=180°-2×27.5°=125°。
∠AOB+∠BOC=180°（平角），故∠BOC=180°-125°=55°。
E在AC延长线上，O、C、E共线，所以∠BOE=∠BOC=55°，因此∠E=∠BOE=55°。
∠ACB=62.5°，在Rt△ABC中，∠BAC=90°-62.5°=27.5°。
因为AO=BO，所以∠OBA=∠BAC=27.5°，则∠AOB=180°-2×27.5°=125°。
∠AOB+∠BOC=180°（平角），故∠BOC=180°-125°=55°。
E在AC延长线上，O、C、E共线，所以∠BOE=∠BOC=55°，因此∠E=∠BOE=55°。
7. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 $9$,将正方形折叠,使顶点 $D$ 落在 $BC$ 边上的点 $E$ 处,折痕为 $GH$. 若 $BE:EC = 2:1$,则线段 $CH$ 的长是()
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
答案
B
解析
∵正方形ABCD边长为9，BE:EC=2:1，∴BC=9，设BE=2x，EC=x，则2x+x=9，解得x=3，∴EC=3。设CH=y，则DH=9-y。由折叠性质知EH=DH=9-y。在Rt△ECH中，EC²+CH²=EH²，即3²+y²=(9-y)²，解得y=4。
