3. 如图，在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF=BE，连结AF、BF.
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，且DF=5，AE=3，求DE的长.

（1）
证明：
$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore DC// AB$，即$DF// BE$，
$\because DF=BE$，
$\therefore$四边形$DEBF$为平行四边形，
$\because DE⊥ AB$，
$\therefore∠ DEB=90°$，
$\therefore$四边形$DEBF$为矩形。
（2）
$\because AB// CD$，
$\therefore∠ BAF=∠ DFA$，
$\because AF$平分$∠ DAB$，
$\therefore∠ DAF=∠ BAF$，
$\therefore∠ DAF=∠ DFA$，
$\therefore AD=DF=5$，
$\because$在$Rt△ ADE$中，$∠ AED=90°$，$AD=5$，$AE=3$，
$\therefore DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。

4. 如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是()


A.AC⊥BD
B.AB=BC
C.AC=BD
D.∠1=∠2

C

菱形判定方法：1.一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3.四条边都相等的四边形是菱形。
选项A：AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，能判定。
选项B：AB=BC，一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定。
选项C：AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定为菱形。
选项D：∠1=∠2，∵AD//BC，∴∠2=∠ACD，又∠1=∠2，∴∠1=∠ACD，∴AD=CD，一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定。

5. 如图，菱形ABCD的对角线的长分别为4和8，P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合)，且PE//BC交AB于点E，PF//CD交AD于点F，则阴影部分的面积是。

8

菱形ABCD对角线长分别为4和8，面积为$\frac{1}{2}×4×8=16$。AC将菱形分为面积相等的两个三角形，$S_{△ABC}=S_{△ADC}=8$。
因为PE//BC，PF//CD，所以四边形AEPF是平行四边形，$S_{△AEP}=S_{△AFP}$。
阴影部分面积等于$S_{△ABC}$（或$S_{△ADC}$），即8。

6. 如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OBC=∠OCB，要使□ABCD为正方形还需增加一个条件. 在条件①AB=BC；②AC⊥BD；③AC=BD；④∠ABC=90°中，正确的是()


A.①②
B.②③
C.①③
D.②④

A

∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∠OBC=∠OCB，∴OB=OC（等角对等边）.∵平行四边形对角线互相平分，∴OA=OC，OB=OD，∴OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，故□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.要使矩形ABCD为正方形，需增加的条件：①AB=BC（邻边相等的矩形是正方形）；②AC⊥BD（对角线垂直的矩形是正方形）.③AC=BD已由已知条件推出，④∠ABC=90°是矩形性质，均无需增加.故正确的是①②.

7. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF，若AE=1，则EF的值为。

√10

∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A=∠DCB=∠ADC=90°，∴∠DCF=90°。∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF。在△ADE和△CDF中，∠A=∠DCF，AD=CD，∠ADE=∠CDF，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴CF=AE=1。∵E为AB中点，AE=1，∴AB=2AE=2，∴EB=AE=1，BC=AB=2，∴BF=BC+CF=2+1=3。在Rt△EBF中，EB=1，BF=3，∴EF=√(EB²+BF²)=√(1²+3²)=√10。

8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连结DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG//BC，交DE于点G，连结AF、CG.
（1）求证：AF=BF；
（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形.

（1）∵AD=CD，点E是AC中点，∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一）。
∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，∴AB//DE（垂直于同一直线的两直线平行）。
∵AB//DF，E是AC中点，∴CF/FB=CE/EA=1（平行线分线段成比例），∴CF=FB，即F是BC中点。
在Rt△ABC中，AF是斜边BC中线，∴AF=BF（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
（2）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=45°。
由（1）知F是BC中点，∴AF=FC，AF⊥BC（等腰三角形三线合一），∠AFC=90°。
∵AG//BC，∴∠GAC=∠ACB=45°，∠AGE=∠CFE。
在△AGE和△CFE中，∠AGE=∠CFE，∠AEG=∠CEF，AE=CE，∴△AGE≌△CFE（AAS），∴AG=FC。
∵AG//FC且AG=FC，∴四边形AFCG是平行四边形。
∵∠AFC=90°，∴平行四边形AFCG是矩形。
∵AF=FC，∴矩形AFCG是正方形。