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8. 如图,菱形 $ABCD$ 的边长为 $2$,$∠ ABC = 120^{\circ}$,边 $AB$ 在数轴上,将 $AC$ 绕点 $A$ 顺时针旋转,点 $C$ 落在数轴上的点 $E$ 处,若点 $E$ 表示的数是 $3$,则点 $A$ 表示的数是 ()
A.$1$
B.$1 - \sqrt{3}$
C.$0$
D.$3 - 2\sqrt{3}$
A.$1$
B.$1 - \sqrt{3}$
C.$0$
D.$3 - 2\sqrt{3}$
答案
D
解析
在菱形ABCD中，AB=BC=2，∠ABC=120°。连接AC，在△ABC中，由余弦定理得AC²=AB²+BC²-2·AB·BC·cos∠ABC=2²+2²-2×2×2×cos120°=4+4+4=12，故AC=2√3。将AC绕点A顺时针旋转后点C落在数轴上的点E处，所以AE=AC=2√3。设点A表示的数为x，因E表示的数是3，且AE=2√3，点E在点A右侧，所以x+2√3=3，解得x=3-2√3。
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
9. 如图,点 $P$ 是正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上的一点,$PE⊥ AD$ 于点 $E$,$PE = 3$. 则点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离为.
9. 如图,点 $P$ 是正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上的一点,$PE⊥ AD$ 于点 $E$,$PE = 3$. 则点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离为.
答案
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC=45°。
∵PE⊥AD，PE=3，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴AE=PE=3。
过点P作PF⊥AB于点F，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AC平分∠DAB，
又∵PE⊥AD，PF⊥AB，
∴PF=PE=3。
故点P到直线AB的距离为3。
3
∴∠DAC=45°。
∵PE⊥AD，PE=3，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴AE=PE=3。
过点P作PF⊥AB于点F，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AC平分∠DAB，
又∵PE⊥AD，PF⊥AB，
∴PF=PE=3。
故点P到直线AB的距离为3。
3
10. 如图,四边形 $ABCD$ 和四边形 $AEFC$ 是两个矩形,点 $B$ 在 $EF$ 边上,若矩形 $ABCD$ 和矩形 $AEFC$ 的面积分别是 $S_1$、$S_2$,则它们的大小关系是 $S_1$$S_2$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).
答案
=
解析
连接AC。在矩形ABCD中，S₁=AB×BC，且△ABC的面积为S₁/2。在矩形AEFC中，点B在EF上，EF//AC，△ABC的面积也为S₂/2（以AC为底，EF到AC的距离为高，矩形面积为底×高=2×△ABC面积）。因此S₁/2=S₂/2，故S₁=S₂。
11. 如图,直线 $l_1// l_2$,等边三角形 $ABC$ 和正方形 $BDEF$ 在它们之间,点 $A$、$C$ 在 $l_1$ 上,点 $D$、$E$ 在 $l_2$ 上,点 $B$ 为公共顶点,则 $∠ ABF$ 的度数为.
答案
15
解析
过点$ B $作直线$ l_1 $、$ l_2 $的垂线，垂足分别为$ M $、$ N $。
等边$△ ABC$中，$ BM ⊥ l_1 $，则$ BM $平分$∠ ABC$，$∠ ABM = \frac{1}{2} ∠ ABC = 30°$。
正方形$ BDEF $中，$ BN ⊥ l_2 $，则$ BN $平分$∠ DBE$，$∠ DBN = \frac{1}{2} ∠ DBE = 45°$。
由于$ l_1 // l_2 $，$ BM $、$ BN $共线，$∠ ABD = 180° - ∠ ABM - ∠ DBN = 180° - 30° - 45° = 105°$。
正方形中$∠ FBD = 90°$，故$∠ ABF = ∠ ABD - ∠ FBD = 105° - 90° = 15°$。
等边$△ ABC$中，$ BM ⊥ l_1 $，则$ BM $平分$∠ ABC$，$∠ ABM = \frac{1}{2} ∠ ABC = 30°$。
正方形$ BDEF $中，$ BN ⊥ l_2 $，则$ BN $平分$∠ DBE$，$∠ DBN = \frac{1}{2} ∠ DBE = 45°$。
由于$ l_1 // l_2 $，$ BM $、$ BN $共线，$∠ ABD = 180° - ∠ ABM - ∠ DBN = 180° - 30° - 45° = 105°$。
正方形中$∠ FBD = 90°$，故$∠ ABF = ∠ ABD - ∠ FBD = 105° - 90° = 15°$。
12. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$AB = 8$,$∠ DAB = 60^{\circ}$,在 $AD$ 边上任取一点 $E$,连结 $EG$,在 $AB$ 边上取一点 $F$,使 $∠ EGF = 120^{\circ}$.
(1)$BD$ 的长为;
(2)四边形 $AEGF$ 的面积是.
(1)$BD$ 的长为;
(2)四边形 $AEGF$ 的面积是.
答案
8；12√3
解析
(1)在菱形ABCD中，AB=AD=8，∠DAB=60°，故△ABD为等边三角形，因此BD=AB=8。
(2)以A为原点建立坐标系，A(0,0)，B(8,0)，D(4,4√3)，对角线交点G(6,2√3)。设E(t,√3t)在AD上，F(s,0)在AB上。由∠EGF=120°，利用向量数量积得s=-2t+12。四边形AEGF面积用鞋带公式计算，得面积=√3(2t+s)=12√3。
(2)以A为原点建立坐标系，A(0,0)，B(8,0)，D(4,4√3)，对角线交点G(6,2√3)。设E(t,√3t)在AD上，F(s,0)在AB上。由∠EGF=120°，利用向量数量积得s=-2t+12。四边形AEGF面积用鞋带公式计算，得面积=√3(2t+s)=12√3。
三、解答题(本大题共 4 小题,共 48 分)
13. (12 分)如图,在菱形 $ABCD$ 中,$E$、$F$ 是对角线 $BD$ 上的两点,$DF = BE$,连结 $AE$、$AF$、$CE$.
(1)求证:$△ ADF≌△ CBE$;
(2)若 $BD = 6$,$∠ BAD = 120^{\circ}$,且 $△ AEF$ 是等边三角形,求 $CE$ 的长.
13. (12 分)如图,在菱形 $ABCD$ 中,$E$、$F$ 是对角线 $BD$ 上的两点,$DF = BE$,连结 $AE$、$AF$、$CE$.
(1)求证:$△ ADF≌△ CBE$;
(2)若 $BD = 6$,$∠ BAD = 120^{\circ}$,且 $△ AEF$ 是等边三角形,求 $CE$ 的长.
答案
(1)见证明；(2)2。
解析
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD//BC，∴∠ADF=∠CBE。在△ADF和△CBE中，AD=BC，∠ADF=∠CBE，DF=BE，∴△ADF≌△CBE(SAS)。
(2)设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=OD=3，∠BAO=∠BAD/2=60°。在Rt△AOB中，∠ABO=30°，设AO=x，则AB=2x，由勾股定理得x²+3²=(2x)²，解得x=√3，∴AO=√3，A(0,√3)，B(-3,0)，D(3,0)，C(0,-√3)。设BE=DF=m，则E(-3+m,0)，F(3-m,0)，EF=6-2m。∵△AEF是等边三角形，∴AE=EF。AE²=(m-3)²+(√3)²=m²-6m+12，EF²=(6-2m)²=4m²-24m+36。∴m²-6m+12=4m²-24m+36，解得m=2或4。由△ADF≌△CBE得CE=AF，又△AEF是等边三角形，AF=EF=2，∴CE=2。
(2)设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=OD=3，∠BAO=∠BAD/2=60°。在Rt△AOB中，∠ABO=30°，设AO=x，则AB=2x，由勾股定理得x²+3²=(2x)²，解得x=√3，∴AO=√3，A(0,√3)，B(-3,0)，D(3,0)，C(0,-√3)。设BE=DF=m，则E(-3+m,0)，F(3-m,0)，EF=6-2m。∵△AEF是等边三角形，∴AE=EF。AE²=(m-3)²+(√3)²=m²-6m+12，EF²=(6-2m)²=4m²-24m+36。∴m²-6m+12=4m²-24m+36，解得m=2或4。由△ADF≌△CBE得CE=AF，又△AEF是等边三角形，AF=EF=2，∴CE=2。
