14. (12 分)如图,$AB$ 所在直线是 $CD$ 的垂直平分线,交 $CD$ 于点 $M$,过点 $M$ 作 $ME⊥ AC$,$MF⊥ AD$,垂足分别为 $E$、$F$.
(1)求证:$∠ CAB = ∠ DAB$;
(2)若 $∠ CAD = 90^{\circ}$,求证:四边形 $AEMF$ 是正方形.

(1) ∵AB是CD的垂直平分线，∴AC=AD，CM=DM，AB⊥CD。在△ACM和△ADM中，AC=AD，CM=DM，AM=AM，∴△ACM≌△ADM(SSS)。∴∠CAM=∠DAM，即∠CAB=∠DAB。
(2) ∵ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD=90°，∴∠AEM=∠AFM=∠CAD=90°，∴四边形AEMF是矩形。∵∠CAB=∠DAB，ME⊥AC，MF⊥AD，∴ME=MF。∴矩形AEMF是正方形。

15. (12 分)如图,在 $□ ABCD$ 中,点 $E$、$F$ 分别在边 $BC$、$AD$ 上,且 $BE = DF$,连结 $AE$、$CF$.
(1)求证:四边形 $AECF$ 是平行四边形.
(2)连结 $AC$,$AC$ 平分 $∠ EAF$. 若 $AB = 4$,$BC = 8$,$AF = 5$,求证:四边形 $ABCD$ 是矩形.

(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD//BC。∵BE=DF，∴AD-DF=BC-BE，即AF=EC。又∵AD//BC，∴AF//EC。∴四边形AECF是平行四边形。
(2)∵AC平分∠EAF，∴∠EAC=∠FAC。∵四边形AECF是平行四边形，∴AE//CF，∴∠FAC=∠ECA。∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC。由(1)知EC=AF=5，∴AE=5。在△ABE中，AB=4，BE=BC-EC=8-5=3，∵3²+4²=5²，即BE²+AB²=AE²，∴∠B=90°。∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形。

16. (12 分)如图,已知 $□ ABCD$ 的对角线 $AC$、$BD$ 相交于点 $O$,且 $∠ 1 = ∠ 2$.
(1)求证:$□ ABCD$ 是菱形;
(2)$F$ 为 $AD$ 上一点,连结 $BF$ 交 $AC$ 于点 $E$,且 $AE = AF$,求证:$AO = \frac{1}{2}(AF + AB)$.

(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠2=∠ACB（两直线平行，内错角相等）。
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ACB，
∴AB=BC（等角对等边）。
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=BC，
∴□ABCD是菱形。
(2)证明：
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF（等边对等角）。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AB=BC，
∴∠AFE=∠EBC（两直线平行，内错角相等）。
∵∠AEF=∠BEC（对顶角相等），
∴∠EBC=∠BEC，
∴EC=BC（等角对等边）。
∵AB=BC，
∴EC=AB。
∵AC=AE+EC，AE=AF，
∴AC=AF+AB。
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴AO=1/2AC（平行四边形对角线互相平分），
∴AO=1/2(AF+AB)。