1. 下列条件中能判定一个平行四边形为矩形的是()
①对角线互相平分 ②对角线互相垂直 ③对角线相等 ④一组邻边相等 ⑤一个角为直角

A.①④
B.②④
C.①②
D.③⑤

D

矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形等。
选项①对角线互相平分是平行四边形的性质，不能判定平行四边形是矩形。
选项②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能判定是矩形。
选项③对角线相等的平行四边形是矩形。
选项④一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能判定是矩形。
选项⑤有一个角为直角的平行四边形是矩形。
所以能判定一个平行四边形为矩形的是③⑤，答案为D。

2. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC. 下列结论：①BC=DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD=2，CD=5，则AB=4. 其中正确的有()


A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④

B

∵∠A=∠ABC=90°，DE⊥BC，∴∠A=∠ABE=∠DEB=90°，∴四边形ABED是矩形（三个角是直角的四边形是矩形），②正确；
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，又∵AD//BE（矩形对边平行），∴∠ADB=∠DBE，∴∠CDB=∠DBE，∴DC=BC（等角对等边），①正确；
若AD=2，CD=5，则BC=DC=5，BE=AD=2（矩形对边相等），∴EC=BC-BE=3，在Rt△DEC中，DE=√(CD²-EC²)=√(25-9)=4，∵AB=DE（矩形对边相等），∴AB=4，④正确；
无法证明E是BC中点，③错误。
综上，正确的有①②④。

3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于点F，且AD=DB. 若∠B=20°，则∠DFE等于()

A.30°
B.40°
C.50°
D.60°

D

在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，则∠BAC=180°-90°-20°=70°。
E是AB中点，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，故CE=AE=BE，∴∠BCE=∠B=20°，∠ACE=∠ACB-∠BCE=70°。
AD=DB，∴∠BAD=∠B=20°，∠CAD=∠BAC-∠BAD=70°-20°=50°。
在△ADC中，∠ACD=90°，∠CAD=50°，∴∠ADC=180°-90°-50°=40°。
在△AFC中，∠CAD=50°，∠ACE=70°，∴∠AFC=180°-50°-70°=60°。
AD与CE交于F，∠DFE与∠AFC为对顶角，故∠DFE=∠AFC=60°。

4. 如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与BC、AD交于点E、F，连结BO、CF. 若AB=BO，BE=EO，则下列结论中错误的是()


A.∠BAO=60°
B.AC⊥EF
C.OF=DF
D.AB=2BE

D

∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，O为AC中点，则AO=BO=CO=DO（矩形对角线互相平分且相等）。
∵AB=BO，∴AB=AO=BO，△ABO为等边三角形，∠BAO=60°，A正确。
设BE=EO=x，∠ABO=60°，则∠OBC=90°-60°=30°。∵BE=EO，∴∠BOE=∠OBC=30°，∠BEO=120°，∠OEC=60°。在△ABC中，∠ACB=30°（∠BAO=60°，∠ABC=90°），在△OEC中，∠EOC=180°-30°-60°=90°，即AC⊥EF，B正确。
∵AD//BC，AO=CO，∴△AOF≌△COE（AAS），OF=OE=x。设AB=a，则AC=2a，BC=AC·cos30°=a√3。在Rt△EOC中，EO=EC·sin30°，即x=(BC-BE)·1/2=(a√3 - x)/2，解得x=a√3/3。DF=AD - AF=BC - EC=a√3 - 2x=a√3/3=OF，C正确。
AB=a，BE=x=a√3/3，2BE=2a√3/3≠a，D错误。

5. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形AEFD是矩形的是()


A.EF=AD
B.∠AEB=∠DFC
C.BE=CF
D.∠DAE=∠AEF

D

在▱ABCD中，AD//BC，AD=BC，AE⊥BC，故∠EAD=90°，AD//EF（F在BC延长线上）。
选项A：EF=AD，又AD//EF，∴四边形AEFD是平行四边形，结合∠EAD=90°，可证为矩形。
选项B：∠AEB=90°，∠AEB=∠DFC，∴∠DFC=90°，即DF⊥BC，AE⊥BC，∴AE//DF，又AD//EF，∴四边形AEFD是平行四边形，结合∠EAD=90°，可证为矩形。
选项C：BE=CF，BC=BE+EC，EF=EC+CF=EC+BE=BC=AD，∴EF=AD，又AD//EF，∴四边形AEFD是平行四边形，结合∠EAD=90°，可证为矩形。
选项D：∠DAE=90°，∠DAE=∠AEF，∴∠AEF=90°，但仅能得AD//EF和∠EAD=∠AEF=90°，无法证AD=EF或AE//DF，不能确定为平行四边形，故不能证为矩形。

6. 如图，在四边形ABCD中，已知AB//DC，AB=DC. 在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是.(填上你认为正确的一个答案即可)

∠A=90°

因为AB//DC，AB=DC，所以四边形ABCD是平行四边形。要使平行四边形成为矩形，根据矩形的判定定理，只需添加一个角是直角，即∠A=90°（或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°）。

7. 如图，在矩形ABCD中，BC=20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形。

4

设运动时间为$ t $秒。在矩形$ ABCD $中，$ BC=20\ \mathrm{cm} $，点$ P $从$ B $出发沿逆时针方向（$ B \to C \to D \to A $）运动，速度$ 3\ \mathrm{cm/s} $，则$ P $在$ BC $上时，$ BP=3t $，坐标为$ (a, 3t) $（设$ AB=a $）；点$ Q $从$ D $出发沿逆时针方向（$ D \to A \to B \to C $）运动，速度$ 2\ \mathrm{cm/s} $，则$ Q $在$ DA $上时，$ DQ=2t $，坐标为$ (0, 20 - 2t) $。
要使四边形$ ABPQ $为矩形，需$ AB ⊥ BP $（$ AB $水平，$ BP $竖直）且$ AQ=BP $。$ AQ $为$ Q $到$ A $的距离，$ AQ=20 - 2t $，$ BP=3t $，故$ 20 - 2t=3t $，解得$ t=4 $。此时$ P $在$ BC $上，$ Q $在$ DA $上，符合条件。