登录
3. 一次函数 $ y = kx + b(k ≠ 0, k、b $ 为常数)的图象如图所示，则 $ k $、$ b $ 的取值范围是()
$$
$ $
A.$ k ＞ 0, b ＞ 0 $
B.$ k ＜ 0, b ＞ 0 $
C.$ k ＞ 0, b ＜ 0 $
D.$ k ＜ 0, b ＜ 0 $
$$
$ $A.$ k ＞ 0, b ＞ 0 $
B.$ k ＜ 0, b ＞ 0 $
C.$ k ＞ 0, b ＜ 0 $
D.$ k ＜ 0, b ＜ 0 $
答案
C
解析
一次函数$y=kx+b$的图象经过第一、三、四象限。当$k＞0$时，函数图象从左到右上升；当$b＜0$时，函数图象与$y$轴交于负半轴。所以$k＞0$，$b＜0$。
4. 若点 $ A(m, n) $ 在一次函数 $ y = 3x + b $ 的图象上，且 $ 3m - n ＞ 2 $，则 $ b $ 的取值范围为()
A.$ b ＞ 2 $
B.$ b ＞ -2 $
C.$ b ＜ 2 $
D.$ b ＜ -2 $
A.$ b ＞ 2 $
B.$ b ＞ -2 $
C.$ b ＜ 2 $
D.$ b ＜ -2 $
答案
D
解析
因为点$A(m,n)$在一次函数$y = 3x + b$的图象上，所以将点$A(m,n)$代入函数可得$n = 3m + b$，即$3m - n=-b$。
已知$3m - n＞ 2$，所以$-b＞ 2$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得到$b＜ - 2$。
已知$3m - n＞ 2$，所以$-b＞ 2$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得到$b＜ - 2$。
5. 在平面直角坐标系中，将直线 $ y = -\frac{3}{2}x + 3 $ 沿 $ y $ 轴向下平移 6 个单位长度后，得到一条新的直线，该直线与 $ x $ 轴的交点坐标是()
A.$ (-2, 0) $
B.$ (6, 0) $
C.$ (4, 0) $
D.$ (0, -3) $
A.$ (-2, 0) $
B.$ (6, 0) $
C.$ (4, 0) $
D.$ (0, -3) $
答案
A
解析
将直线$y = -\frac{3}{2}x + 3$沿$y$轴向下平移6个单位长度，根据上加下减的平移规律，可得新的直线方程为$y = -\frac{3}{2}x + 3 - 6$，即$y = -\frac{3}{2}x - 3$。
要求该直线与$x$轴的交点坐标，令$y = 0$，则$0 = -\frac{3}{2}x - 3$，
移项可得$\frac{3}{2}x = -3$，
两边同时除以$\frac{3}{2}$，解得$x = -2$。
所以该直线与$x$轴的交点坐标是$(-2, 0)$。
要求该直线与$x$轴的交点坐标，令$y = 0$，则$0 = -\frac{3}{2}x - 3$，
移项可得$\frac{3}{2}x = -3$，
两边同时除以$\frac{3}{2}$，解得$x = -2$。
所以该直线与$x$轴的交点坐标是$(-2, 0)$。
6. 若正比例函数 $ y = kx(k $ 是常数，$ k ≠ 0) $ 的图象经过第二、四象限，则 $ k $ 的值可以是。(任写一个即可)
答案
$-1$（答案不唯一，填一个负数即可对应的选项（若有）或直接填数）。
解析
正比例函数 $y = kx$ 的图象是一条经过原点的直线，当 $k ＞ 0$ 时，图象经过第一、三象限，当 $k ＜ 0$ 时，图象经过第二、四象限，题目中函数图象经过第二、四象限，所以 $k ＜ 0$，那么 $k$ 的值只要取一个负数即可，例如 $k = -1$。
7. 一次函数 $ y = kx + b $ 的图象如图所示，则 $ b = $。
$$
$ $
$$
$ $答案
6
解析
由图可知，一次函数$y = kx + b$的图象与$y$轴交于点$(0, 6)$，将$x = 0$，$y = 6$代入函数得$6 = k×0 + b$，所以$b = 6$。
8. 已知一次函数 $ y = x + 5 $ 的图象经过点 $ P(a, b) $ 和 $ Q(m, n) $，则 $ a(m - n) + b(n - m) $ 的值为。
答案
25
解析
因为一次函数$y = x + 5$的图象经过点$P(a, b)$和$Q(m, n)$，所以$b = a + 5$，$n = m + 5$，即$b - a = 5$，$n - m = 5$。
$a(m - n) + b(n - m) = a(m - n) - b(m - n) = (a - b)(m - n) = (a - b)[-(n - m)] = (b - a)(n - m)$。
将$b - a = 5$，$n - m = 5$代入，得$5×5 = 25$。
$a(m - n) + b(n - m) = a(m - n) - b(m - n) = (a - b)(m - n) = (a - b)[-(n - m)] = (b - a)(n - m)$。
将$b - a = 5$，$n - m = 5$代入，得$5×5 = 25$。
9. 如图，直线 $ PA $ 是一次函数 $ y = x + 1 $ 的图象，直线 $ PB $ 是一次函数 $ y = -2x + 4 $ 的图象。
（1）求 $ A $、$ B $、$ P $ 三点的坐标；
（2）求四边形 $ PQOB $ 的面积。
$$
$ $
（1）求 $ A $、$ B $、$ P $ 三点的坐标；
（2）求四边形 $ PQOB $ 的面积。
$$
$ $答案
（1）对于直线PA：y = x + 1，令y=0，得x = -1，故A(-1,0)；对于直线PB：y = -2x + 4，令y=0，得x=2，故B(2,0)；联立y = x + 1与y = -2x + 4，解得x=1，y=2，故P(1,2)。
（2）直线PA：y = x + 1与y轴交于Q，令x=0，得y=1，故Q(0,1)。四边形PQOB的顶点为P(1,2)、Q(0,1)、O(0,0)、B(2,0)。过P作PD⊥x轴于D(1,0)，则S四边形PQOB=S梯形PQOD+S△PDB。S梯形PQOD=(OQ+PD)·OD/2=(1+2)×1/2=3/2；S△PDB=DB·PD/2=(2-1)×2/2=1。故S四边形PQOB=3/2 + 1=5/2。
（1）A(-1,0)，B(2,0)，P(1,2)；（2）5/2
（2）直线PA：y = x + 1与y轴交于Q，令x=0，得y=1，故Q(0,1)。四边形PQOB的顶点为P(1,2)、Q(0,1)、O(0,0)、B(2,0)。过P作PD⊥x轴于D(1,0)，则S四边形PQOB=S梯形PQOD+S△PDB。S梯形PQOD=(OQ+PD)·OD/2=(1+2)×1/2=3/2；S△PDB=DB·PD/2=(2-1)×2/2=1。故S四边形PQOB=3/2 + 1=5/2。
（1）A(-1,0)，B(2,0)，P(1,2)；（2）5/2
10. （创新意识）如图，直线 $ l $ 的表达式为 $ y = -\frac{4}{3}x + 4 $，它与坐标轴分别交于 $ A $、$ B $ 两点。
（1）求出 $ A $ 点的坐标；
（2）动点 $ C $ 从 $ y $ 轴上的点 $ (0, 12) $ 出发，以每秒 $ 1 \, \mathrm{cm} $ 的速度向负半轴运动，求出点 $ C $ 运动过程中所有的时间 $ t $，使得 $ △ ABC $ 为等腰三角形。
$$
$ $
（1）求出 $ A $ 点的坐标；
（2）动点 $ C $ 从 $ y $ 轴上的点 $ (0, 12) $ 出发，以每秒 $ 1 \, \mathrm{cm} $ 的速度向负半轴运动，求出点 $ C $ 运动过程中所有的时间 $ t $，使得 $ △ ABC $ 为等腰三角形。
$$
$ $答案
（1）$ (3,0) $；（2）$ t=3 $，$ 13 $，$ 16 $，$ \frac{89}{8} $。
解析
（1）令$ y=0 $，则$ 0=-\frac{4}{3}x + 4 $，解得$ x=3 $，$ A(3,0) $。
（2）由直线$ l $得$ B(0,4) $，$ AB=5 $，$ C(0,12-t) $。
情况1：$ AB=AC $，$ \sqrt{3^2 + (12-t)^2}=5 $，$ (12-t)^2=16 $，$ t=16 $（$ t=8 $时$ C $与$ B $重合，舍去）。
情况2：$ AB=BC $，$ |(12-t)-4|=5 $，$ |8-t|=5 $，$ t=3 $或$ t=13 $。
情况3：$ AC=BC $，$ \sqrt{3^2 + (12-t)^2}=|8-t| $，平方得$ 9+(12-t)^2=(8-t)^2 $，解得$ t=\frac{89}{8} $。
综上，$ t=3 $，$ 13 $，$ 16 $，$ \frac{89}{8} $。
（2）由直线$ l $得$ B(0,4) $，$ AB=5 $，$ C(0,12-t) $。
情况1：$ AB=AC $，$ \sqrt{3^2 + (12-t)^2}=5 $，$ (12-t)^2=16 $，$ t=16 $（$ t=8 $时$ C $与$ B $重合，舍去）。
情况2：$ AB=BC $，$ |(12-t)-4|=5 $，$ |8-t|=5 $，$ t=3 $或$ t=13 $。
情况3：$ AC=BC $，$ \sqrt{3^2 + (12-t)^2}=|8-t| $，平方得$ 9+(12-t)^2=(8-t)^2 $，解得$ t=\frac{89}{8} $。
综上，$ t=3 $，$ 13 $，$ 16 $，$ \frac{89}{8} $。
