1. $k$ 决定一次函数 $y = kx + b(k ≠ 0)$ 的增减性：
(1)若 $k ＞ 0$，$y$ 随 $x$ 增大而，这时函数的图象从左到右；
(2)若 $k ＜ 0$，$y$ 随 $x$ 增大而，这时函数的图象从左到右。
2. $b$ 决定直线 $y = kx + b(k ≠ 0)$ 与 $y$ 轴交点位置：当 $b ＞ 0$ 时，直线交 $y$ 轴于半轴；当 $b ＜ 0$ 时，直线交 $y$ 轴于半轴；当 $b = 0$ 时，直线过原点。

1.（1）增大，上升；（2）减小，下降；
2. 正，负。

1. (1) 根据一次函数的性质，当斜率 $k ＞ 0$ 时，函数 $y = kx + b$ 是增函数，即 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，这时函数的图象从左到右呈上升趋势。
(2) 当斜率 $k ＜ 0$ 时，函数 $y = kx + b$ 是减函数，即 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，这时函数的图象从左到右呈下降趋势。
2. 对于 $b$ 的影响，当 $b ＞ 0$ 时，直线 $y = kx + b$ 与 $y$ 轴交于正半轴；当 $b ＜ 0$ 时，直线与 $y$ 轴交于负半轴；当 $b = 0$ 时，直线过原点。

【典例】已知一次函数 $y = (1 - 2m)x + m + 1$，求当 $m$ 为何值时。
（1）$y$ 随 $x$ 的增大而增大？
（2）图象经过第一、二、四象限？
（3）图象只经过第一、三象限？
（4）图象与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴的上方？
解析：
（1）$\because y$ 随 $x$ 的增大而增大，
$\therefore 1 - 2m ＞ 0$，解得 $m ＜ \frac{1}{2}$。
（2）$\because$ 图象经过第一、二、四象限，
$\therefore \begin{cases}1 - 2m ＜ 0 \\ m + 1 ＞ 0\end{cases}$，解得 $m ＞ \frac{1}{2}$。
（3）$\because$ 图象只经过第一、三象限，
$\therefore \begin{cases}1 - 2m ＞ 0 \\ m + 1 = 0\end{cases}$，解得 $m = -1$。
（4）$\because$ 一次函数的图象与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴的上方，$\therefore \begin{cases}1 - 2m ≠ 0 \\ m + 1 ＞ 0\end{cases}$，
解得 $m ＞ -1$ 且 $m ≠ \frac{1}{2}$。

答：
（1）$\because y$ 随 $x$ 的增大而增大，一次函数斜率为正，
$\therefore 1 - 2m ＞ 0$，
解得$m ＜ \frac{1}{2}$。
（2）$\because$ 图象经过第一、二、四象限，一次函数斜率为负，截距为正，
$\therefore \begin{cases}1 - 2m ＜ 0 ,\\m + 1 ＞ 0.\end{cases}$
解得$m ＞ \frac{1}{2}$。
（3）$\because$ 图象只经过第一、三象限，一次函数斜率为正，且过原点，
$\therefore \begin{cases}1 - 2m ＞ 0, \\m + 1 = 0.\end{cases}$
解得$m = -1$。
（4）$\because$ 一次函数的图象与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴的上方，一次函数斜率不能为0，且截距大于0，
$\therefore \begin{cases}1 - 2m ≠ 0 ,\\m + 1 ＞ 0.\end{cases}$
解得$m ＞ -1$ 且 $m ≠ \frac{1}{2}$。

已知一次函数 $y = (4 - k)x - 2k^2 + 32$。
（1）$k$ 为何值时，它的图象经过原点；
（2）$k$ 为何值时，它的图象经过点 $(0, -2)$；
（3）$k$ 为何值时，它的图象平行于直线 $y = -x$；
（4）$k$ 为何值时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。

（1）∵图象经过原点，∴当$x=0$时，$y=0$，代入得：$0=(4 - k)×0 - 2k^2 + 32$，即$-2k^2 + 32=0$，$k^2=16$，$k=\pm4$。又∵一次函数一次项系数不为$0$，即$4 - k≠0$，$k≠4$，∴$k=-4$。
（2）∵图象经过点$(0,-2)$，代入得：$-2=(4 - k)×0 - 2k^2 + 32$，即$-2k^2 + 32=-2$，$2k^2=34$，$k^2=17$，∴$k=\pm\sqrt{17}$。
（3）∵图象平行于直线$y=-x$，∴一次项系数相等，即$4 - k=-1$，解得$k=5$。此时常数项$-2k^2 + 32=-2×25 + 32=-18≠0$，故$k=5$。
（4）∵$y$随$x$的增大而减小，∴一次项系数$4 - k＜0$，解得$k＞4$。

1. 若点 $A(-5, y_1)$、$B(1, y_2)$ 都在直线 $y = 2x + 7$ 上，则 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系是()

A.$y_1 ＜ y_2$
B.$y_1 = y_2$
C.$y_1 ＞ y_2$
D.无法比较大小

A

因为直线$y = 2x + 7$中$k=2＞0$，所以$y$随$x$的增大而增大。点$A(-5,y_1)$，$B(1,y_2)$，$-5＜1$，所以$y_1＜y_2$。

2. 已知一次函数 $y = (1 + 2k)x - 5$ 的图象经过点 $M(x_1, y_1)$ 和点 $N(x_2, y_2)$，若当 $x_1 ＞ x_2$ 时，$y_1 ＜ y_2$，则 $k$ 的值可能是()

A.$-\frac{1}{2}$
B.$0$
C.$-1$
D.$\frac{1}{2}$

C

一次函数 $y = (1 + 2k)x - 5$ 的斜率为 $1 + 2k$。
根据题意，当 $x_1 ＞ x_2$ 时，$y_1 ＜ y_2$，说明函数值随 $x$ 的增大而减小，即斜率小于 $0$。
因此，$1 + 2k ＜ 0$，解得 $k ＜ -\frac{1}{2}$。
选项中只有 $C$ 选项 $-1$ 满足 $k ＜ -\frac{1}{2}$。