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重难点 用相同的正多边形铺设地面
【典例】下列正多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是（C）
A. 等边三角形
B. 正方形
C. 正五边形
D. 正六边形
解析：A. 等边三角形内角和为 $180^{\circ}$，能整除 $360^{\circ}$，能铺满，故此选项不合题意；B. 正方形内角和为 $360^{\circ}$，能整除 $360^{\circ}$，能铺满，故此选项不合题意；C. 正五边形每个内角的度数为 $180^{\circ}-360^{\circ}÷5 = 108^{\circ}$，不能整除 $360^{\circ}$，不能铺满，故此选项合题意；D. 正六边形每个内角的度数为 $180^{\circ}-360^{\circ}÷6 = 120^{\circ}$，能整除 $360^{\circ}$，能铺满，故此选项不合题意；故选 C。
【典例】下列正多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是（C）
A. 等边三角形
B. 正方形
C. 正五边形
D. 正六边形
解析：A. 等边三角形内角和为 $180^{\circ}$，能整除 $360^{\circ}$，能铺满，故此选项不合题意；B. 正方形内角和为 $360^{\circ}$，能整除 $360^{\circ}$，能铺满，故此选项不合题意；C. 正五边形每个内角的度数为 $180^{\circ}-360^{\circ}÷5 = 108^{\circ}$，不能整除 $360^{\circ}$，不能铺满，故此选项合题意；D. 正六边形每个内角的度数为 $180^{\circ}-360^{\circ}÷6 = 120^{\circ}$，能整除 $360^{\circ}$，能铺满，故此选项不合题意；故选 C。
答案
C
解析
分别计算各正多边形每个内角的度数，看能否整除$360^{\circ}$。
选项A：等边三角形内角和为$180^{\circ}$，每个内角是$180^{\circ}÷3 = 60^{\circ}$，$360^{\circ}÷60^{\circ}=6$，能整除，可以铺满地面。
选项B：正方形内角和为$360^{\circ}$，每个内角是$360^{\circ}÷4 = 90^{\circ}$，$360^{\circ}÷90^{\circ}=4$，能整除，可以铺满地面。
选项C：正五边形每个内角为$180^{\circ}-360^{\circ}÷5=108^{\circ}$，$360^{\circ}÷108^{\circ}=\frac{10}{3}$，不能整除，不能铺满地面。
选项D：正六边形每个内角为$180^{\circ}-360^{\circ}÷6 = 120^{\circ}$，$360^{\circ}÷120^{\circ}=3$，能整除，可以铺满地面。
选项A：等边三角形内角和为$180^{\circ}$，每个内角是$180^{\circ}÷3 = 60^{\circ}$，$360^{\circ}÷60^{\circ}=6$，能整除，可以铺满地面。
选项B：正方形内角和为$360^{\circ}$，每个内角是$360^{\circ}÷4 = 90^{\circ}$，$360^{\circ}÷90^{\circ}=4$，能整除，可以铺满地面。
选项C：正五边形每个内角为$180^{\circ}-360^{\circ}÷5=108^{\circ}$，$360^{\circ}÷108^{\circ}=\frac{10}{3}$，不能整除，不能铺满地面。
选项D：正六边形每个内角为$180^{\circ}-360^{\circ}÷6 = 120^{\circ}$，$360^{\circ}÷120^{\circ}=3$，能整除，可以铺满地面。
【对点训练】
下列图形中，单独选用不能进行平面镶嵌的是()
A. 正三角形
B. 正方形
C. 正六边形
D. 正十边形
下列图形中，单独选用不能进行平面镶嵌的是()
A. 正三角形
B. 正方形
C. 正六边形
D. 正十边形
答案
D
解析
正多边形能否进行平面镶嵌需看其内角度数是否能整除360°。正三角形内角为60°，$360 ÷ 60 = 6$，能进行平面镶嵌；正方形内角为90°，$360 ÷ 90 = 4$，能进行平面镶嵌；正六边形内角为$120°$，$360 ÷ 120 = 3$，能进行平面镶嵌；正十边形内角为$144°$，$360÷144 = 2.5$，不能进行平面镶嵌。
基础巩固
1. 下列正多边形地砖中，单独选用一种地砖不能铺满地面的是()
A. 正三角形地砖
B. 正方形地砖
C. 正六边形地砖
D. 正八边形地砖
2. 如图 1 是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个 $2×2$ 的正方形图案(如图 2)，其中完整的圆共有 5 个，如果铺成一个 $3×3$ 的正方形图案(如图 3)，其中完整的圆共有 13 个，如果铺成一个 $4×4$ 的正方形图案(如图 4)，其中完整的圆共有 25 个，若这样铺成一个 $10×10$ 的正方形图案，则其中完整的圆共有()
A. 100 个
B. 121 个
C. 181 个
D. 1021 个
3. 黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第 10 个图案中有白色地砖()
A. 40 块
B. 41 块
C. 42 块
D. 43 块
4. 小颖家刚买了一套新房，厨房只用一种正多边形地砖密铺，某装饰市场有五种型号的地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形. 那么可以选购的地砖型号分别是：(填序号).
5. 我们知道，正五边形不能进行平面镶嵌. 如图，将三个全等的正五边形拼接在一起，则 $∠1$ 度数是.
6. 小红家购买了一套新房，准备用一种地板砖镶嵌新居地面，要求地板砖都是正多边形，且每块地板砖的各边长都相等，各个角也都相等. 某家装饰材料市场有如下五种型号的地砖，它们每个角的度数分别为 $60^{\circ}$，$90^{\circ}$，$108^{\circ}$，$120^{\circ}$，$135^{\circ}$，你认为这些地板砖哪些适用？请说明你的理由.
1. 下列正多边形地砖中，单独选用一种地砖不能铺满地面的是()
A. 正三角形地砖
B. 正方形地砖
C. 正六边形地砖
D. 正八边形地砖
2. 如图 1 是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个 $2×2$ 的正方形图案(如图 2)，其中完整的圆共有 5 个，如果铺成一个 $3×3$ 的正方形图案(如图 3)，其中完整的圆共有 13 个，如果铺成一个 $4×4$ 的正方形图案(如图 4)，其中完整的圆共有 25 个，若这样铺成一个 $10×10$ 的正方形图案，则其中完整的圆共有()
A. 100 个
B. 121 个
C. 181 个
D. 1021 个
3. 黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第 10 个图案中有白色地砖()
A. 40 块
B. 41 块
C. 42 块
D. 43 块
4. 小颖家刚买了一套新房，厨房只用一种正多边形地砖密铺，某装饰市场有五种型号的地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形. 那么可以选购的地砖型号分别是：(填序号).
5. 我们知道，正五边形不能进行平面镶嵌. 如图，将三个全等的正五边形拼接在一起，则 $∠1$ 度数是.
6. 小红家购买了一套新房，准备用一种地板砖镶嵌新居地面，要求地板砖都是正多边形，且每块地板砖的各边长都相等，各个角也都相等. 某家装饰材料市场有如下五种型号的地砖，它们每个角的度数分别为 $60^{\circ}$，$90^{\circ}$，$108^{\circ}$，$120^{\circ}$，$135^{\circ}$，你认为这些地板砖哪些适用？请说明你的理由.
答案
1. D
2. C
3. C
4. ①②④
5. 36°
6. 适用的是60°、90°、120°的地砖，理由是它们的度数能整除360°。
2. C
3. C
4. ①②④
5. 36°
6. 适用的是60°、90°、120°的地砖，理由是它们的度数能整除360°。
解析
1. 正多边形密铺需内角整除360°。正三角形内角60°（360÷60=6）、正方形90°（360÷90=4）、正六边形120°（360÷120=3）均可，正八边形内角135°（360÷135≈2.67）不行。
2. 规律：n×n图案中完整圆数量为n²+(n-1)²。10×10时，10²+9²=100+81=181。
3. 第n个图案白色地砖数为4n+2，第10个：4×10+2=42。
4. 正三角形（60°）、正方形（90°）、正六边形（120°）内角可整除360°，能密铺。
5. 正五边形内角108°，3个内角和324°，∠1=360°-324°=36°。
6. 60°（360÷60=6）、90°（360÷90=4）、120°（360÷120=3）能整除360°，适用。
2. 规律：n×n图案中完整圆数量为n²+(n-1)²。10×10时，10²+9²=100+81=181。
3. 第n个图案白色地砖数为4n+2，第10个：4×10+2=42。
4. 正三角形（60°）、正方形（90°）、正六边形（120°）内角可整除360°，能密铺。
5. 正五边形内角108°，3个内角和324°，∠1=360°-324°=36°。
6. 60°（360÷60=6）、90°（360÷90=4）、120°（360÷120=3）能整除360°，适用。
