素养提升
7.（创新意识）正在改造人行道的工地上，有两种铺设路面材料：一种是长为 $a$ cm、宽为 $b$ cm 的长方形板材（如图 1），另一种是边长为 $c$ cm 的正方形地砖（如图 2）.

（1）用多少块如图 2 所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？（只要写出一个符合条件的答案即可）并写出新正方形的面积；
（2）现用如图 1 所示的四块长方形板材铺成一个大长方形（如图 3）或大正方形（如图 4），中间分别空出一个小长方形和一个小正方形.
①试比较中间的小长方形和中间的小正方形的面积哪个大；
②如图 4，已知大正方形的边长比中间小正方形的边长多 $20$ cm，面积大 $3200$ cm². 如果选用如图 2 所示的正方形地砖（边长为 $20$ cm）铺设图 4 中间的小正方形部分，那么能否做到不用切割地砖就可以直接密铺（缝隙忽略不计）呢？若能，请求出密铺所需地砖的块数；若不能，至少要切割几块如图 2 的地砖？

（1）4块，面积4c²；
（2）①中间小正方形面积大；②不能，至少切割4块。

（1）用4块正方形地砖可拼出一个新正方形，新正方形边长为2c，面积为(2c)²=4c²。
（2）①设图4大正方形边长为M，小正方形边长为m，由题意M = m + 20，M² - m² = 3200。则(M - m)(M + m)=3200，即20(M + m)=3200，得M + m=160。联立解得m=70，M=90。又M=a + b，m=a - b，解得a=80，b=10。图4小正方形面积S2=m²=70²=4900cm²。图3中，四块长方形面积4ab=3200cm²，设大长方形面积为L×W，中间小长方形面积S1=L×W - 3200。因图3为长方形，L≠W，经分析S1＜4900，故小正方形面积大。
②小正方形边长70cm，地砖边长20cm，70不是20的整数倍，不能直接密铺。70×70=4900cm²，每块地砖400cm²，4900÷400=12.25，需13块。完整地砖最多3×3=9块，故至少切割13 - 9=4块。