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例 1 化简：
(1) $\sqrt{27}×\sqrt{\dfrac{1}{3}}$； (2) $\sqrt{7}×\sqrt{63}$.
(1) $\sqrt{27}×\sqrt{\dfrac{1}{3}}$； (2) $\sqrt{7}×\sqrt{63}$.
答案
解：
(1) $\sqrt{27}×\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\sqrt{27×\dfrac{1}{3}}=\sqrt{9}=3$；
(2) $\sqrt{7}×\sqrt{63}=\sqrt{7×63}=\sqrt{441}=21$。
(1) $\sqrt{27}×\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\sqrt{27×\dfrac{1}{3}}=\sqrt{9}=3$；
(2) $\sqrt{7}×\sqrt{63}=\sqrt{7×63}=\sqrt{441}=21$。
例 2 化简：
(1) $\sqrt{180}$； (2) $\sqrt{450}$；
(3) $\sqrt{9x^{2}y^{3}}(x≥0,y≥0)$； (4) $\sqrt{a^{4}+a^{2}b^{2}}(a≥0)$.
(1) $\sqrt{180}$； (2) $\sqrt{450}$；
(3) $\sqrt{9x^{2}y^{3}}(x≥0,y≥0)$； (4) $\sqrt{a^{4}+a^{2}b^{2}}(a≥0)$.
答案
解：
(1) $\sqrt{180}=\sqrt{36×5}=\sqrt{36}×\sqrt{5}=6\sqrt{5}$；
(2) $\sqrt{450}=\sqrt{225×2}=\sqrt{225}×\sqrt{2}=15\sqrt{2}$；
(3) $\because x≥0,y≥0$，
$\therefore \sqrt{9x^{2}y^{3}}=\sqrt{9× x^{2}× y^{2}× y}=\sqrt{9}×\sqrt{x^{2}}×\sqrt{y^{2}}×\sqrt{y}=3xy\sqrt{y}$；
(4) $\because a≥0$，
$\therefore \sqrt{a^{4}+a^{2}b^{2}}=\sqrt{a^{2}(a^{2}+b^{2})}=\sqrt{a^{2}}×\sqrt{a^{2}+b^{2}}=a\sqrt{a^{2}+b^{2}}$。
(1) $\sqrt{180}=\sqrt{36×5}=\sqrt{36}×\sqrt{5}=6\sqrt{5}$；
(2) $\sqrt{450}=\sqrt{225×2}=\sqrt{225}×\sqrt{2}=15\sqrt{2}$；
(3) $\because x≥0,y≥0$，
$\therefore \sqrt{9x^{2}y^{3}}=\sqrt{9× x^{2}× y^{2}× y}=\sqrt{9}×\sqrt{x^{2}}×\sqrt{y^{2}}×\sqrt{y}=3xy\sqrt{y}$；
(4) $\because a≥0$，
$\therefore \sqrt{a^{4}+a^{2}b^{2}}=\sqrt{a^{2}(a^{2}+b^{2})}=\sqrt{a^{2}}×\sqrt{a^{2}+b^{2}}=a\sqrt{a^{2}+b^{2}}$。
1. 下列计算中正确的是 ()
A.$2\sqrt{3}×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
B.$\sqrt{-25}×\sqrt{-125}=\sqrt{(-25)×(-125)}$
C.$\sqrt{16×121}=\sqrt{16}×\sqrt{121}=4×11 = 44$
D.$\sqrt{(-25)(-81)}=\sqrt{-25}×\sqrt{-81}=(-5)×(-9)=45$
A.$2\sqrt{3}×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
B.$\sqrt{-25}×\sqrt{-125}=\sqrt{(-25)×(-125)}$
C.$\sqrt{16×121}=\sqrt{16}×\sqrt{121}=4×11 = 44$
D.$\sqrt{(-25)(-81)}=\sqrt{-25}×\sqrt{-81}=(-5)×(-9)=45$
答案
C
解析
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）逐一分析：
A选项：$2\sqrt{3}×3\sqrt{3}=(2×3)×(\sqrt{3}×\sqrt{3})=6×3=18≠6\sqrt{3}$，错误；
B选项：$\sqrt{-25}$与$\sqrt{-125}$的被开方数为负数，二次根式无意义，错误；
C选项：$\sqrt{16×121}=\sqrt{16}×\sqrt{121}=4×11=44$，正确；
D选项：$\sqrt{(-25)(-81)}=\sqrt{25×81}=\sqrt{25}×\sqrt{81}=5×9=45$，$\sqrt{-25}$、$\sqrt{-81}$无意义，错误。
A选项：$2\sqrt{3}×3\sqrt{3}=(2×3)×(\sqrt{3}×\sqrt{3})=6×3=18≠6\sqrt{3}$，错误；
B选项：$\sqrt{-25}$与$\sqrt{-125}$的被开方数为负数，二次根式无意义，错误；
C选项：$\sqrt{16×121}=\sqrt{16}×\sqrt{121}=4×11=44$，正确；
D选项：$\sqrt{(-25)(-81)}=\sqrt{25×81}=\sqrt{25}×\sqrt{81}=5×9=45$，$\sqrt{-25}$、$\sqrt{-81}$无意义，错误。
2. $-2\sqrt{3}$和$-3\sqrt{2}$的大小关系是 ()
A.$-2\sqrt{3}＜-3\sqrt{2}$
B.$-2\sqrt{3}＞-3\sqrt{2}$
C.$-2\sqrt{3}=-3\sqrt{2}$
D.不能确定
A.$-2\sqrt{3}＜-3\sqrt{2}$
B.$-2\sqrt{3}＞-3\sqrt{2}$
C.$-2\sqrt{3}=-3\sqrt{2}$
D.不能确定
答案
B
解析
比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值：
1. 计算绝对值：$|-2\sqrt{3}|=2\sqrt{3}=\sqrt{2^2×3}=\sqrt{12}$，$|-3\sqrt{2}|=3\sqrt{2}=\sqrt{3^2×2}=\sqrt{18}$；
2. 比较绝对值大小：因为$\sqrt{12}＜\sqrt{18}$，所以$2\sqrt{3}＜3\sqrt{2}$；
3. 根据负数比较大小的规则，绝对值大的负数反而小，故$-2\sqrt{3}＞-3\sqrt{2}$。
1. 计算绝对值：$|-2\sqrt{3}|=2\sqrt{3}=\sqrt{2^2×3}=\sqrt{12}$，$|-3\sqrt{2}|=3\sqrt{2}=\sqrt{3^2×2}=\sqrt{18}$；
2. 比较绝对值大小：因为$\sqrt{12}＜\sqrt{18}$，所以$2\sqrt{3}＜3\sqrt{2}$；
3. 根据负数比较大小的规则，绝对值大的负数反而小，故$-2\sqrt{3}＞-3\sqrt{2}$。
二、填空题
3. 已知等腰三角形的腰长$2\sqrt{6}$，底边长$4\sqrt{2}$，则这个等腰三角形的面积为.
3. 已知等腰三角形的腰长$2\sqrt{6}$，底边长$4\sqrt{2}$，则这个等腰三角形的面积为.
答案
解：
过等腰三角形的顶点作底边的高，设高为$ h $。
由等腰三角形三线合一性质，底边被分成的两段长度均为$ \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $。
根据勾股定理：
$ h^2 + (2\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{6})^2 $
计算得：
$ h^2 + 8 = 24 $
$ h^2 = 16 $
因为$ h ＞ 0 $，所以$ h = 4 $。
该等腰三角形的面积为：
$ \frac{1}{2} × 4\sqrt{2} × 4 = 8\sqrt{2} $
最终结论：$ 8\sqrt{2} $
过等腰三角形的顶点作底边的高，设高为$ h $。
由等腰三角形三线合一性质，底边被分成的两段长度均为$ \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $。
根据勾股定理：
$ h^2 + (2\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{6})^2 $
计算得：
$ h^2 + 8 = 24 $
$ h^2 = 16 $
因为$ h ＞ 0 $，所以$ h = 4 $。
该等腰三角形的面积为：
$ \frac{1}{2} × 4\sqrt{2} × 4 = 8\sqrt{2} $
最终结论：$ 8\sqrt{2} $
4. 化简：$\sqrt{-a^{3}}=$.
答案
$-a\sqrt{-a}$
解析
根据二次根式有意义的条件，得$-a^3≥0$，即$a≤0$。
将$\sqrt{-a^3}$变形为$\sqrt{a^2·(-a)}$，利用二次根式的乘法法则及$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，可得：
$\sqrt{a^2·(-a)}=\sqrt{a^2}·\sqrt{-a}=|a|·\sqrt{-a}$，
因为$a≤0$，所以$|a|=-a$，因此原式$=-a\sqrt{-a}$。
将$\sqrt{-a^3}$变形为$\sqrt{a^2·(-a)}$，利用二次根式的乘法法则及$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，可得：
$\sqrt{a^2·(-a)}=\sqrt{a^2}·\sqrt{-a}=|a|·\sqrt{-a}$，
因为$a≤0$，所以$|a|=-a$，因此原式$=-a\sqrt{-a}$。
