例 1 如图 8.3.1，线段 $ DE $ 与 $ AF $ 分别为 $ △ ABC $ 的中位线和中线.
(1) 求证：$ AF $ 与 $ DE $ 互相平分.
(2) 当线段 $ AF $ 与 $ BC $ 满足怎样的数量关系时，四边形 $ ADFE $ 是矩形？请说明理由.

(1) 证明：
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ D是AB的中点，E是AC的中点，
∵ AF是△ABC的中线，
∴ F是BC的中点，
∴ DF是△ABC的中位线，
∴ DF//AC，且$DF=\frac{1}{2}AC$，
又∵ E是AC的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AC$，
∴ DF//AE，且DF=AE，
∴ 四边形ADFE是平行四边形，
∴ AF与DE互相平分。
(2) 解：当$AF=\frac{1}{2}BC$时，四边形ADFE是矩形。
理由：
∵ AF是△ABC的中线，且$AF=\frac{1}{2}BC$，
∴ △ABC是直角三角形，$∠ BAC=90°$，
由(1)知四边形ADFE是平行四边形，
又∵ $∠ BAC=90°$，
∴ 平行四边形ADFE是矩形。

例 2 如图 8.3.2，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ M $，$ N $ 分别是 $ AB $，$ AC $ 的中点，延长 $ BC $ 到点 $ D $，使 $ CD = \frac{1}{3}BD $，连接 $ MN $，$ DN $. 若 $ AB = 6 $，求 $ DN $ 的长.

解：
∵ M，N分别是AB，AC的中点，
∴ MN是△ABC的中位线，
∴ $MN// BC$，且$MN=\frac{1}{2}BC$。
设$CD=x$，
∵ $CD=\frac{1}{3}BD$，
∴ $BD=3x$，
则$BC=BD-CD=3x-x=2x$，
∴ $MN=\frac{1}{2}×2x=x$，即$MN=CD$。
又∵ $MN// CD$，
∴ 四边形MNDC是平行四边形，
∴ $DN=CM$。
∵ $∠ ACB=90°$，M是AB的中点，$AB=6$，
∴ $CM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，
∴ $DN=3$。

1. 如图，$ □ ABCD $ 的对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，$ E $ 是 $ BC $ 的中点，$ AC = 4 $. 若 $ □ ABCD $ 的周长为 12，则 $ △ COE $ 的周长为()

A.4
B.5
C.6
D.8

B

1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，对角线$AC$、$BD$交于点$O$，所以$O$是$AC$的中点，且$AB+BC=\frac{1}{2}×$平行四边形周长。
已知$AC=4$，平行四边形周长为12，可得$OC=\frac{1}{2}AC=2$，$AB+BC=\frac{1}{2}×12=6$。
2. 因为$E$是$BC$的中点，所以$OE$是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理，$OE=\frac{1}{2}AB$，$CE=\frac{1}{2}BC$。
3. 则$OE+CE=\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{1}{2}×6=3$。
4. $△ COE$的周长为$OC+OE+CE=2+3=5$。