2. 如图，$ E $ 为 $ □ ABCD $ 的对角线 $ AC $ 上一点，$ AC = 5 $，$ CE = 1 $，连接 $ DE $ 并延长至点 $ F $，使得 $ EF = DE $，连接 $ BF $，则 $ BF $ 的长为()

A.$ \frac{5}{2} $
B.$ \frac{7}{2} $
C.3
D.4

C

1. 连接BD，交AC于点O。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC、BD的中点，故$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$。
3. 已知$CE=1$，则$OE=OC-CE=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$。
4. 因为E是DF的中点，O是BD的中点，所以OE是△DBF的中位线，根据三角形中位线定理，$BF=2OE$。
5. 代入OE的值得$BF=2×\frac{3}{2}=3$。

二、填空题
3. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ D $，$ E $，$ F $ 分别是 $ AB $，$ AC $，$ BC $ 的中点. 若 $ △ ABC $ 的周长为 12，则 $ △ DEF $ 的周长为；若 $ △ ABC $ 的面积为 8，则 $ △ DEF $ 的面积为.

解：
∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE、DF、EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得：
$DE=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，$EF=\frac{1}{2}AB$。
∵△ABC的周长为12，即$AB+BC+AC=12$，
∴△DEF的周长为$DE+DF+EF=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)=\frac{1}{2}×12=6$。
由中位线性质可知，△DEF∽△CBA，相似比为$\frac{1}{2}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△DEF}}{S_{△ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∵$S_{△ABC}=8$，
∴$S_{△DEF}=8×\frac{1}{4}=2$。
综上，△DEF的周长为$\boldsymbol{6}$，面积为$\boldsymbol{2}$。

4. 顺次连接四边形 $ ABCD $ 各边中点，若得到的四边形是矩形，则原四边形 $ ABCD $ 一定满足的条件是；若得到的四边形是菱形，则原四边形 $ ABCD $ 一定满足的条件是.

对角线互相垂直；对角线相等

1. 顺次连接四边形各边中点，根据三角形中位线定理，所得四边形为平行四边形（两组对边分别平行且等于原四边形对角线的一半）。
2. 若所得四边形是矩形，因矩形邻边垂直，且中点连线平行于原四边形对角线，故原四边形对角线互相垂直；
3. 若所得四边形是菱形，因菱形四条边相等，且中点连线长度为原四边形对角线的一半，故原四边形对角线相等。

三、解答题
5. 如图，点 $ D $，$ E $，$ F $ 分别是 $ △ ABC $ 三边中点，$ AH ⊥ BC $，垂足为 $ H $. 求证：
(1) $ ∠ BDE = ∠ BAC $；
(2) $ DE = FH $.

证明：
(1) ∵ 点$D$，$E$分别是$AB$，$BC$的中点，
∴ $DE$是$△ ABC$的中位线，
∴ $DE// AC$，
∴ $∠ BDE=∠ BAC$（两直线平行，同位角相等）。
(2) ∵ 点$D$，$E$分别是$AB$，$BC$的中点，
∴ $DE=\frac{1}{2}AC$，
∵ $AH⊥ BC$，$F$是$AC$的中点，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ AHC$中，$FH$为斜边$AC$的中线，
∴ $FH=\frac{1}{2}AC$，
∴ $DE=FH$。

6. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ D $ 是 $ AB $ 的中点.
(1) 用直尺和圆规作 $ AC $ 的垂直平分线 $ l $.（不写作法，保留作图痕迹）
(2) 若 $ l $ 交 $ AC $ 于点 $ E $，连接 $ DE $ 并延长至点 $ F $，使 $ EF = 2DE $，连接 $ BE $，$ CF $. 补全图形，并证明四边形 $ BCFE $ 是平行四边形.

解：(1) 如图所示，直线$ l $即为所求（保留作图痕迹）。
(2) 补全图形如图所示。
证明：
∵ 直线$ l $是$ AC $的垂直平分线，
∴ $ E $为$ AC $的中点，
又∵ $ D $是$ AB $的中点，
∴ $ DE $是$ △ ABC $的中位线，
∴ $ DE// BC $，且$ DE=\frac{1}{2}BC $，
∵ $ EF=2DE $，
∴ $ EF=BC $，
又∵ $ EF// BC $，
∴ 四边形$ BCFE $是平行四边形。