7. 如图，$ AC $，$ BD $ 是四边形 $ ABCD $ 的对角线，$ E $，$ F $ 分别为 $ AD $，$ BC $ 的中点，$ G $，$ H $ 分别是 $ BD $，$ AC $ 的中点，连接 $ EF $，$ GH $.
(1) 判断 $ EF $ 与 $ GH $ 的关系，并说明理由.
(2) 若 $ AB = CD $，求证：$ EF ⊥ GH $.

(1) 解：$EF$与$GH$互相平分。
理由：连接$EG$、$GF$、$FH$、$HE$。
∵$E$为$AD$的中点，$G$为$BD$的中点，
∴$EG$是$△ ABD$的中位线，
∴$EG// AB$，$EG=\frac{1}{2}AB$。
∵$H$为$AC$的中点，$F$为$BC$的中点，
∴$FH$是$△ ABC$的中位线，
∴$FH// AB$，$FH=\frac{1}{2}AB$。
∴$EG// FH$，$EG=FH$，
∴四边形$EGFH$是平行四边形，
∴$EF$与$GH$互相平分。
(2) 证明：∵$E$为$AD$的中点，$H$为$AC$的中点，
∴$HE$是$△ ACD$的中位线，
∴$HE=\frac{1}{2}CD$。
∵$AB=CD$，$EG=\frac{1}{2}AB$，
∴$EG=HE$。
∵四边形$EGFH$是平行四边形，且$EG=HE$，
∴平行四边形$EGFH$是菱形，
∴$EF⊥ GH$。

8. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ E $ 是 $ AB $ 的中点，$ DB $，$ CE $ 相交于点 $ F $，$ DF = FB $，连接 $ AF $，且 $ AF // DC $.
(1) 求证：四边形 $ AFCD $ 是平行四边形.
(2) 若 $ ∠ EFB = 90° $，$ BF = 3 $，$ EF = 1 $，求 $ BC $ 的长.

(1) 证明：
∵ $ AF // DC $，
∴ $ ∠ CDF = ∠ BAF $，
在$ △ DFC $和$ △ BFA $中，
$\begin{cases}∠ CDF = ∠ BAF \\DF = BF \\∠ DFC = ∠ BFA\end{cases}$
∴ $ △ DFC ≌ △ BFA $（ASA），
∴ $ DC = AF $，
又∵ $ AF // DC $，
∴ 四边形$ AFCD $是平行四边形。
(2) 解：
∵ $ E $是$ AB $的中点，$ DF = FB $，
∴ $ EF $是$ △ ABD $的中位线，
∴ $ AD = 2EF = 2 × 1 = 2 $，
∵ 四边形$ AFCD $是平行四边形，
∴ $ FC = AD = 2 $，
∵ $ ∠ EFB = 90° $，
∴ $ ∠ CFB = 90° $，
在$ \mathrm{Rt} △ CFB $中，由勾股定理得：
$ BC = \sqrt{FC^2 + BF^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} $。