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一、选择题
1. $\sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$有意义，则$x$应满足()
A. $\frac{1}{2} ≤ x ≤ 3$
B. $x ≤ 3$且$x ≠ \frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{2} ＜ x ＜ 3$
D. $\frac{1}{2} ＜ x ≤ 3$
1. $\sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$有意义，则$x$应满足()
A. $\frac{1}{2} ≤ x ≤ 3$
B. $x ≤ 3$且$x ≠ \frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{2} ＜ x ＜ 3$
D. $\frac{1}{2} ＜ x ≤ 3$
答案
D
解析
要使$\sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$有意义，需满足：$\begin{cases}3 - x ≥ 0 \\ 2x - 1 ＞ 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x ≤ 3 \\ x ＞ \frac{1}{2}\end{cases}$，即$\frac{1}{2} ＜ x ≤ 3$。
2. $k$，$m$，$n$为三个整数，若$\sqrt{135} = k\sqrt{15}$，$\sqrt{450} = 15\sqrt{m}$，$\sqrt{180} = 6\sqrt{n}$，则下列关于$k$，$m$，$n$的大小关系正确的是()
A. $k ＜ m = n$
B. $m = n ＜ k$
C. $m ＜ n ＜ k$
D. $m ＜ k ＜ n$
A. $k ＜ m = n$
B. $m = n ＜ k$
C. $m ＜ n ＜ k$
D. $m ＜ k ＜ n$
答案
D
解析
因为$\sqrt{135} = \sqrt{9×15} = 3\sqrt{15}$，所以$k = 3$；
因为$\sqrt{450} = \sqrt{225×2} = 15\sqrt{2}$，所以$m = 2$；
因为$\sqrt{180} = \sqrt{36×5} = 6\sqrt{5}$，所以$n = 5$；
比较大小：$m = 2$，$k = 3$，$n = 5$，所以$m ＜ k ＜ n$。
因为$\sqrt{450} = \sqrt{225×2} = 15\sqrt{2}$，所以$m = 2$；
因为$\sqrt{180} = \sqrt{36×5} = 6\sqrt{5}$，所以$n = 5$；
比较大小：$m = 2$，$k = 3$，$n = 5$，所以$m ＜ k ＜ n$。
3. 计算$4\sqrt{\frac{1}{2}} + 3\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{8}$的结果是()
A. $\sqrt{3} + \sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\sqrt{3} - \sqrt{2}$
A. $\sqrt{3} + \sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\sqrt{3} - \sqrt{2}$
答案
B
解析
首先将各项化为最简二次根式，$4\sqrt{\frac{1}{2}} = 4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$；$3\sqrt{\frac{1}{3}} = 3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$；$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。然后代入原式进行计算：$4\sqrt{\frac{1}{2}} + 3\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{8}=2\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}=\sqrt{3}$。
4. 在$\sqrt{27}$，$\sqrt{\frac{1}{12}}$，$\sqrt{1\frac{1}{2}}$中，能与$\sqrt{3}$合并的有()
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
答案
C
解析
将各根式化简为最简二次根式，若被开方数与$\sqrt{3}$的被开方数相同则可以合并。
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，与$\sqrt{3}$的被开方数相同，可以合并。
$\sqrt{\frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{1}{4× 3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4×3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，与$\sqrt{3}$的被开方数相同，可以合并。
$\sqrt{1\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不可以合并。
能与$\sqrt{3}$合并的有$\sqrt{27}$，$\sqrt{\frac{1}{12}}$，共$2$个。
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，与$\sqrt{3}$的被开方数相同，可以合并。
$\sqrt{\frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{1}{4× 3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4×3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，与$\sqrt{3}$的被开方数相同，可以合并。
$\sqrt{1\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不可以合并。
能与$\sqrt{3}$合并的有$\sqrt{27}$，$\sqrt{\frac{1}{12}}$，共$2$个。
5. 下列运算正确的是()
A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{18} = 2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{5}$
D.$\sqrt{2} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}} = 2$
A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{18} = 2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{5}$
D.$\sqrt{2} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}} = 2$
答案
D
解析
对于选项A，$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并，所以$\sqrt{2} + \sqrt{3} ≠ \sqrt{5}$，A错误；
对于选项B，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2} = 3\sqrt{2}≠2\sqrt{3}$，B错误；
对于选项C，根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，C错误；
对于选项D，根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b ＞ 0$），$\sqrt{2}÷\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2÷\frac{1}{2}}=\sqrt{4} = 2$，D正确。
对于选项B，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2} = 3\sqrt{2}≠2\sqrt{3}$，B错误；
对于选项C，根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，C错误；
对于选项D，根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b ＞ 0$），$\sqrt{2}÷\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2÷\frac{1}{2}}=\sqrt{4} = 2$，D正确。
6. 下列各式：①$\sqrt{a^{2} + b}$，②$\sqrt{\frac{x}{5}}$，③$\sqrt{x^{2} - xy}$，④$\sqrt{27abc}$，是最简二次根式的是()
A.①②
B.③④
C.①③
D.①④
A.①②
B.③④
C.①③
D.①④
答案
C
解析
最简二次根式需满足两个条件：1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2.被开方数的因数是整数，因式是整式。
对于①$\sqrt{a^{2}+b}$，被开方数是$a^{2}+b$，没有公因式，也不能分解成一个完全平方数和一个数的乘积，所以是最简二次根式。
对于②$\sqrt{\frac{x}{5}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。
对于③$\sqrt{x^{2}-xy}$，被开方数$x^{2}-xy$不能分解成一个完全平方数和一个数的乘积，所以是最简二次根式。
对于④$\sqrt{27abc}$，$27 = 3^2×3$，被开方数含能开得尽方的因数$9$，不是最简二次根式。
综上，最简二次根式是①③，答案选C。
对于①$\sqrt{a^{2}+b}$，被开方数是$a^{2}+b$，没有公因式，也不能分解成一个完全平方数和一个数的乘积，所以是最简二次根式。
对于②$\sqrt{\frac{x}{5}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。
对于③$\sqrt{x^{2}-xy}$，被开方数$x^{2}-xy$不能分解成一个完全平方数和一个数的乘积，所以是最简二次根式。
对于④$\sqrt{27abc}$，$27 = 3^2×3$，被开方数含能开得尽方的因数$9$，不是最简二次根式。
综上，最简二次根式是①③，答案选C。
7. 若$\sqrt{x} · \sqrt{x - 6} = \sqrt{x(x - 6)}$，则()
A.$x ≥ 6$
B.$x ≥ 0$
C.$0 ≤ x ≤ 6$
D.$x$为一切实数
A.$x ≥ 6$
B.$x ≥ 0$
C.$0 ≤ x ≤ 6$
D.$x$为一切实数
答案
A
解析
要使等式$\sqrt{x} · \sqrt{x - 6} = \sqrt{x(x - 6)}$成立，根据二次根式乘法法则，需满足被开方数非负，即$\{\begin{array}{l}x≥0\\x - 6≥0\end{array} $，解得$x≥6$。
二、填空题
8. 代数式$\frac{\sqrt{5 - 3x}}{x^{2} - 4}$有意义，则$x$的取值范围是。
8. 代数式$\frac{\sqrt{5 - 3x}}{x^{2} - 4}$有意义，则$x$的取值范围是。
答案
要使代数式$\frac{\sqrt{5 - 3x}}{x^{2} - 4}$有意义，需满足：
1. 二次根式被开方数非负：$5 - 3x ≥ 0$，解得$x ≤ \frac{5}{3}$；
2. 分母不为零：$x^{2} - 4 ≠ 0$，即$(x + 2)(x - 2) ≠ 0$，解得$x ≠ -2$且$x ≠ 2$。
综上，$x$的取值范围是$x ≤ \frac{5}{3}$且$x ≠ -2$。
$x ≤ \frac{5}{3}$且$x ≠ -2$
1. 二次根式被开方数非负：$5 - 3x ≥ 0$，解得$x ≤ \frac{5}{3}$；
2. 分母不为零：$x^{2} - 4 ≠ 0$，即$(x + 2)(x - 2) ≠ 0$，解得$x ≠ -2$且$x ≠ 2$。
综上，$x$的取值范围是$x ≤ \frac{5}{3}$且$x ≠ -2$。
$x ≤ \frac{5}{3}$且$x ≠ -2$
9. 已知有理数$a$，$b$，$c$在数轴上的对应位置如图，则$\vert a + c \vert - \sqrt{(b - c)^{2}} + \sqrt[3]{(b + c)^{3}} =$。
答案
$c - a$
解析
由数轴知：$c ＜ b ＜ 0 ＜ a$，且$|c| ＞ |b| ＞ a$。
1. $a + c$：$a$为正，$c$为负且$|c| ＞ a$，故$a + c ＜ 0$，则$|a + c| = -a - c$；
2. $\sqrt{(b - c)^2} = |b - c|$：$b ＞ c$，故$b - c ＞ 0$，则$|b - c| = b - c$；
3. $\sqrt[3]{(b + c)^3} = b + c$（立方根性质）。
代入原式：
$|a + c| - \sqrt{(b - c)^2} + \sqrt[3]{(b + c)^3} = (-a - c) - (b - c) + (b + c) = -a - c - b + c + b + c = c - a$。
1. $a + c$：$a$为正，$c$为负且$|c| ＞ a$，故$a + c ＜ 0$，则$|a + c| = -a - c$；
2. $\sqrt{(b - c)^2} = |b - c|$：$b ＞ c$，故$b - c ＞ 0$，则$|b - c| = b - c$；
3. $\sqrt[3]{(b + c)^3} = b + c$（立方根性质）。
代入原式：
$|a + c| - \sqrt{(b - c)^2} + \sqrt[3]{(b + c)^3} = (-a - c) - (b - c) + (b + c) = -a - c - b + c + b + c = c - a$。
10. 已知$x$，$y$是实数，且满足$y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + \frac{1}{8}$，则$\sqrt{x} · \sqrt{y}$的值是。
答案
$\frac{1}{2}$
解析
由二次根式有意义的条件，得$x - 2 ≥ 0$且$2 - x ≥ 0$，解得$x = 2$。将$x = 2$代入$y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + \frac{1}{8}$，得$y = 0 + 0 + \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$。则$\sqrt{x} · \sqrt{y} = \sqrt{2} · \sqrt{\frac{1}{8}} = \sqrt{2×\frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$。
11. 若$\sqrt{a^{2} - 3a + 1} + b^{2} + 4b + 4 = 0$，则$a^{2} + \frac{1}{a^{2}} - \vert b \vert =$。
答案
5
解析
首先，将原方程$\sqrt{a^{2} - 3a + 1} + b^{2} + 4b + 4 = 0$进行整理，利用完全平方公式，得到：
$\sqrt{a^{2} - 3a + 1} + (b + 2)^{2} = 0$。
由于$\sqrt{a^{2} - 3a + 1}$和$(b + 2)^{2}$都是非负数，且它们的和为0，那么它们各自必须为0，即：
$a^{2} - 3a + 1 = 0$，
$b + 2 = 0$。
从第二个方程，直接得到：
$b = -2$。
将$a^{2} - 3a + 1 = 0$两边同时除以$a$（注意$a ≠ 0$，否则原方程无意义），得到：
$a + \frac{1}{a} = 3$，
对等式两边同时平方，得到：
$(a + \frac{1}{a})^{2} = 3^{2}$，
$a^{2} + 2 + \frac{1}{a^{2}} = 9$，
从上式，可以解出：
$a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 7$，
最后，代入题目要求的表达式$a^{2} + \frac{1}{a^{2}} - |b|$，得到：
$7 - |-2| = 7 - 2 = 5$。
$\sqrt{a^{2} - 3a + 1} + (b + 2)^{2} = 0$。
由于$\sqrt{a^{2} - 3a + 1}$和$(b + 2)^{2}$都是非负数，且它们的和为0，那么它们各自必须为0，即：
$a^{2} - 3a + 1 = 0$，
$b + 2 = 0$。
从第二个方程，直接得到：
$b = -2$。
将$a^{2} - 3a + 1 = 0$两边同时除以$a$（注意$a ≠ 0$，否则原方程无意义），得到：
$a + \frac{1}{a} = 3$，
对等式两边同时平方，得到：
$(a + \frac{1}{a})^{2} = 3^{2}$，
$a^{2} + 2 + \frac{1}{a^{2}} = 9$，
从上式，可以解出：
$a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 7$，
最后，代入题目要求的表达式$a^{2} + \frac{1}{a^{2}} - |b|$，得到：
$7 - |-2| = 7 - 2 = 5$。
12. 已知$m$为正整数，若$\sqrt{189m}$是整数，则根据$\sqrt{189m} = \sqrt{3 × 3 × 3 × 7m} = 3\sqrt{3 × 7m}$可知$m$有最小值$3 × 7 = 21$。设$n$为正整数，若$\sqrt{\frac{300}{n}}$是大于$1$的整数，则$n$的最小值为，最大值为。
答案
3，75
解析
∵√(300/n)是大于1的整数，设√(300/n)=k（k为大于1的正整数），则300/n=k²，n=300/k²。
300=2²×3×5²，k²需为300的因数且k＞1。
k²可能值：4（k=2）、25（k=5）、100（k=10）。
对应n=300/4=75，n=300/25=12，n=300/100=3。
n的最小值为3，最大值为75。
300=2²×3×5²，k²需为300的因数且k＞1。
k²可能值：4（k=2）、25（k=5）、100（k=10）。
对应n=300/4=75，n=300/25=12，n=300/100=3。
n的最小值为3，最大值为75。
三、解答题
13. 计算：
（1）$\sqrt{24} - \sqrt{18} × \sqrt{\frac{1}{3}}$；
（2）$-\sqrt{36} + \sqrt{2\frac{1}{4}} + \sqrt{27}$；
（3）$(1 + \sqrt{2})^{2025}(1 - \sqrt{2})^{2026}$；
（4）$(\frac{1}{2})^{-1} + (π - 3)^{0} + \vert \sqrt{2} - 3 \vert + \sqrt{18}$。
13. 计算：
（1）$\sqrt{24} - \sqrt{18} × \sqrt{\frac{1}{3}}$；
（2）$-\sqrt{36} + \sqrt{2\frac{1}{4}} + \sqrt{27}$；
（3）$(1 + \sqrt{2})^{2025}(1 - \sqrt{2})^{2026}$；
（4）$(\frac{1}{2})^{-1} + (π - 3)^{0} + \vert \sqrt{2} - 3 \vert + \sqrt{18}$。
答案
（1）
$\sqrt{24} - \sqrt{18} × \sqrt{\frac{1}{3}}$
$ = 2\sqrt{6} - 3\sqrt{2} × \frac{\sqrt{3}}{3}$
$ = 2\sqrt{6} - 3\sqrt{2× \frac{1}{3}}}$
$ = 2\sqrt{6} - \sqrt{6}$
$ = \sqrt{6}$
（2）
$- \sqrt{36} + \sqrt{2\frac{1}{4}} + \sqrt{27}$
$ = - 6 + \sqrt{\frac{9}{4}} + 3\sqrt{3}$
$ = - 6 + \frac{3}{2} + 3\sqrt{3}$
$ = - \frac{9}{2} + 3\sqrt{3}$
（3）
$(1 + \sqrt{2})^{2025}(1 - \sqrt{2})^{2026}$
$ = [(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})]^{2025} × (1 - \sqrt{2})$
$ = (1 - 2)^{2025} × (1 - \sqrt{2})$
$ = (-1)^{2025} × (1 - \sqrt{2})$
$ = \sqrt{2} - 1$
（4）
$(\frac{1}{2})^{-1} + (π - 3)^{0} + |\sqrt{2} - 3| + \sqrt{18}$
$ = 2 + 1 + | \sqrt{2}-3| + 3\sqrt{2}$
$ = 2 + 1 + (3 - \sqrt{2}) + 3\sqrt{2}$
$ = 6 + 2\sqrt{2}$
$\sqrt{24} - \sqrt{18} × \sqrt{\frac{1}{3}}$
$ = 2\sqrt{6} - 3\sqrt{2} × \frac{\sqrt{3}}{3}$
$ = 2\sqrt{6} - 3\sqrt{2× \frac{1}{3}}}$
$ = 2\sqrt{6} - \sqrt{6}$
$ = \sqrt{6}$
（2）
$- \sqrt{36} + \sqrt{2\frac{1}{4}} + \sqrt{27}$
$ = - 6 + \sqrt{\frac{9}{4}} + 3\sqrt{3}$
$ = - 6 + \frac{3}{2} + 3\sqrt{3}$
$ = - \frac{9}{2} + 3\sqrt{3}$
（3）
$(1 + \sqrt{2})^{2025}(1 - \sqrt{2})^{2026}$
$ = [(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})]^{2025} × (1 - \sqrt{2})$
$ = (1 - 2)^{2025} × (1 - \sqrt{2})$
$ = (-1)^{2025} × (1 - \sqrt{2})$
$ = \sqrt{2} - 1$
（4）
$(\frac{1}{2})^{-1} + (π - 3)^{0} + |\sqrt{2} - 3| + \sqrt{18}$
$ = 2 + 1 + | \sqrt{2}-3| + 3\sqrt{2}$
$ = 2 + 1 + (3 - \sqrt{2}) + 3\sqrt{2}$
$ = 6 + 2\sqrt{2}$
