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【知识点】菱形的判定
有一组邻边
对角线
有一组邻边
相等
的平行四边形叫作菱形.(定义)对角线
互相垂直
的平行四边形是菱形.四条边相等
的四边形是菱形.答案
【知识点】相等 互相垂直 四条边相等
解析
【解析】
根据菱形的判定定理：
- 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
- 菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
- 菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形。
【答案】
相等；互相垂直；四条边相等
【知识点】
菱形的判定
【点评】
本题考查菱形的判定定理，属于基础题，需要学生牢记菱形的判定定理。
【难度系数】
0.9
根据菱形的判定定理：
- 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
- 菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
- 菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形。
【答案】
相等；互相垂直；四条边相等
【知识点】
菱形的判定
【点评】
本题考查菱形的判定定理，属于基础题，需要学生牢记菱形的判定定理。
【难度系数】
0.9
1. 如图 21.3 - 15，平行四边形 $ABCD$ 对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，请添加一个条件，使得平行四边形 $ABCD$ 是菱形(
A.$AB = AC$
B.$AC⊥ BD$
C.$AB = CD$
D.$AC = BD$
B
)A.$AB = AC$
B.$AC⊥ BD$
C.$AB = CD$
D.$AC = BD$
答案
1. B
解析
【解析】
根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
已知四边形$ABCD$是平行四边形，当$AC⊥BD$时，平行四边形$ABCD$是菱形。
A选项$AB = AC$，不能判定平行四边形$ABCD$是菱形；
C选项$AB = CD$，平行四边形的对边本来就相等，不能判定是菱形；
D选项$AC = BD$，是矩形的判定条件，不是菱形的判定条件。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题考查菱形的判定，需要学生熟练掌握菱形的判定定理，通过对每个选项进行分析判断得出正确答案。
【难度系数】
0.6
根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
已知四边形$ABCD$是平行四边形，当$AC⊥BD$时，平行四边形$ABCD$是菱形。
A选项$AB = AC$，不能判定平行四边形$ABCD$是菱形；
C选项$AB = CD$，平行四边形的对边本来就相等，不能判定是菱形；
D选项$AC = BD$，是矩形的判定条件，不是菱形的判定条件。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题考查菱形的判定，需要学生熟练掌握菱形的判定定理，通过对每个选项进行分析判断得出正确答案。
【难度系数】
0.6
2. 生产某种机器零件时，工人师傅要判断一个四边形模具是否为菱形，以下测量方案中正确的是(
A.测量四条边是否相等
B.测量一组邻边是否相等
C.测量对角线是否垂直
D.测量对角线是否互相平分
A
)A.测量四条边是否相等
B.测量一组邻边是否相等
C.测量对角线是否垂直
D.测量对角线是否互相平分
答案
2. A
解析
【解析】
根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形。
- 选项A：测量四条边是否相等，若四条边相等，则该四边形是菱形，此方案正确。
- 选项B：测量一组邻边是否相等，仅一组邻边相等不能判定四边形是菱形，此方案错误。
- 选项C：测量对角线是否垂直，对角线垂直的四边形不一定是菱形，此方案错误。
- 选项D：测量对角线是否互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是菱形，此方案错误。
【答案】
A
【知识点】
菱形的判定
【点评】
本题考查菱形的判定，需要学生准确掌握菱形的判定定理，通过对每个选项的分析判断来得出正确答案。
【难度系数】
0.6
根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形。
- 选项A：测量四条边是否相等，若四条边相等，则该四边形是菱形，此方案正确。
- 选项B：测量一组邻边是否相等，仅一组邻边相等不能判定四边形是菱形，此方案错误。
- 选项C：测量对角线是否垂直，对角线垂直的四边形不一定是菱形，此方案错误。
- 选项D：测量对角线是否互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是菱形，此方案错误。
【答案】
A
【知识点】
菱形的判定
【点评】
本题考查菱形的判定，需要学生准确掌握菱形的判定定理，通过对每个选项的分析判断来得出正确答案。
【难度系数】
0.6
3. 如图 21.3 - 16，，分别以点 ， 为圆心， 长为半径画弧，两弧相交于 ， 两点. 连接 ，，，，则四边形 的面积为
24
.答案
3. 24
解析
【解析】
连接$MN$交$AB$于点$O$。
因为$AM = AN = BM = BN = 5cm$，所以四边形$AMBN$是菱形。
根据菱形的性质，$AB⊥ MN$，$AO=\frac{1}{2}AB = 3cm$。
在$Rt△ AOM$中，由勾股定理$OM=\sqrt{AM^{2}-AO^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4cm$，则$MN = 2OM = 8cm$。
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}AB· MN=\frac{1}{2}×6×8 = 24cm^{2}$。
【答案】
$24$
【知识点】
菱形的判定与性质、勾股定理、菱形面积计算
【点评】
本题通过利用菱形的判定定理（四条边相等的四边形是菱形）确定四边形$AMBN$为菱形，再结合勾股定理求出对角线$MN$的长度，最后运用菱形面积公式求解，考查了学生对几何图形性质和定理的综合运用能力。
【难度系数】
$0.3$
连接$MN$交$AB$于点$O$。
因为$AM = AN = BM = BN = 5cm$，所以四边形$AMBN$是菱形。
根据菱形的性质，$AB⊥ MN$，$AO=\frac{1}{2}AB = 3cm$。
在$Rt△ AOM$中，由勾股定理$OM=\sqrt{AM^{2}-AO^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4cm$，则$MN = 2OM = 8cm$。
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}AB· MN=\frac{1}{2}×6×8 = 24cm^{2}$。
【答案】
$24$
【知识点】
菱形的判定与性质、勾股定理、菱形面积计算
【点评】
本题通过利用菱形的判定定理（四条边相等的四边形是菱形）确定四边形$AMBN$为菱形，再结合勾股定理求出对角线$MN$的长度，最后运用菱形面积公式求解，考查了学生对几何图形性质和定理的综合运用能力。
【难度系数】
$0.3$
【例 1】如图 21.3 - 17，， 分别是射线 ， 上的点，，分别以点 ， 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 . 连接 ，，，， 与 交于点 . 若 ，四边形 的面积为 ，则 的长为(
【点拨】证明四边形 $OCED$ 是菱形，得出 $CD⊥ OE$，$CF = DF$，求出 $OF = 2\sqrt{3}$，由勾股定理可得出答案.
A.$2\sqrt{3}$
B.$4$
C.$4\sqrt{3}$
D.$8$
B
)【点拨】证明四边形 $OCED$ 是菱形，得出 $CD⊥ OE$，$CF = DF$，求出 $OF = 2\sqrt{3}$，由勾股定理可得出答案.A.$2\sqrt{3}$
B.$4$
C.$4\sqrt{3}$
D.$8$
答案
【例 1】B
解析
【解析】
因为以点$C$，$D$为圆心，$OC$长为半径作弧，两弧交于点$E$，所以$OC = CE = OD = DE$。
又因为$OC = OD$，所以$OC = CE = OD = DE$，四边形$OCED$是菱形。
因为菱形的面积等于对角线乘积的一半，且$CD = 4$，四边形$OCED$的面积为$8\sqrt{3}$，设$OE$与$CD$相交于点$F$，则$\dfrac{1}{2}× CD× OE = 8\sqrt{3}$，即$\dfrac{1}{2}×4× OE = 8\sqrt{3}$，解得$OE = 4\sqrt{3}$。
因为菱形的对角线互相垂直平分，所以$CF=\dfrac{1}{2}CD = 2$，$OF=\dfrac{1}{2}OE = 2\sqrt{3}$。
在$Rt△ ODF$中，根据勾股定理$OD=\sqrt{DF^{2}+OF^{2}}=\sqrt{2^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4 + 12}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
$B$
【知识点】
菱形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题通过证明四边形是菱形，利用菱形的性质和勾股定理求解边长，考查了对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
$0.4$
因为以点$C$，$D$为圆心，$OC$长为半径作弧，两弧交于点$E$，所以$OC = CE = OD = DE$。
又因为$OC = OD$，所以$OC = CE = OD = DE$，四边形$OCED$是菱形。
因为菱形的面积等于对角线乘积的一半，且$CD = 4$，四边形$OCED$的面积为$8\sqrt{3}$，设$OE$与$CD$相交于点$F$，则$\dfrac{1}{2}× CD× OE = 8\sqrt{3}$，即$\dfrac{1}{2}×4× OE = 8\sqrt{3}$，解得$OE = 4\sqrt{3}$。
因为菱形的对角线互相垂直平分，所以$CF=\dfrac{1}{2}CD = 2$，$OF=\dfrac{1}{2}OE = 2\sqrt{3}$。
在$Rt△ ODF$中，根据勾股定理$OD=\sqrt{DF^{2}+OF^{2}}=\sqrt{2^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4 + 12}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
$B$
【知识点】
菱形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题通过证明四边形是菱形，利用菱形的性质和勾股定理求解边长，考查了对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
$0.4$
