【例 2】如图 21.3 - 18，在四边形 $ABCD$ 中，$AB// DC$，$AB = AD$，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$AC$ 平分 $∠ BAD$，过点 $C$ 作 $CE⊥ AB$，交 $AB$ 的延长线于点 $E$，连接 $OE$.
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是菱形.
(2) 若 $AB = 5$，$BD = 6$，求 $OE$ 的长.
【点拨】(1) 根据题意先证明四边形 $ABCD$ 是平行四边形，再由 $AB = AD$ 可得平行四边形 $ABCD$ 是菱形. (2) 根据菱形的性质得出 $OB$ 的长以及 $∠ AOB = 90°$，利用勾股定理求出 $OA$ 的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出 $OE = \frac{1}{2}AC$，即可解答.

【例 2】（1）证明：
∵AB//CD，
∴∠CAB=∠DCA.
∵AC 为∠DAB 的平分线，
∴∠CAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD.
∵AB=AD，
∴AB=CD.
∵AB//CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵AD=AB，
∴□ABCD 是菱形.
（2）解：
∵四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=3. 在 Rt△AOB 中，∠AOB=90°，
∴OA=$\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}$=4.
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°. 在 Rt△AEC 中，∠AEC=90°，O 为 AC 中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC=OA=4.

【解析】
（1）证明：
∵AB//CD，
∴∠CAB=∠DCA。
∵AC 为∠DAB 的平分线，
∴∠CAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD。
∵AB=AD，
∴AB=CD。
∵AB//CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形。
∵AD=AB，
∴□ABCD 是菱形。
（2）解：
∵四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=3。在 Rt△AOB 中，∠AOB=90°，
∴OA=$\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}$=4。
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°。在 Rt△AEC 中，∠AEC=90°，O 为 AC 中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC=OA=4。
【答案】
（1）证明过程如解析；（2）OE 的长为 4。
【知识点】
菱形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理
【点评】
本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理等知识。（1）通过角平分线和平行线的性质得到边相等，进而证明平行四边形，再结合邻边相等证明菱形，思路清晰；（2）利用菱形性质和勾股定理求出线段长度，再根据直角三角形斜边中线定理求解，考查知识点综合。
【难度系数】
0.6

1. 如图，平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，添加一个条件，使得平行四边形 $ABCD$ 是菱形，则下列选项不符合题意的是()

A.$AC = BD$
B.$AC⊥ BD$
C.$AB = BC$
D.$∠ ABD = ∠ CBD$

1. A

【解析】
- 选项A：
已知四边形$ABCD$是平行四边形，若$AC = BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知平行四边形$ABCD$是矩形，不是菱形，该选项不符合题意。
- 选项B：
已知四边形$ABCD$是平行四边形，若$AC⊥BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可知平行四边形$ABCD$是菱形，该选项符合题意。
- 选项C：
已知四边形$ABCD$是平行四边形，若$AB = BC$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知平行四边形$ABCD$是菱形，该选项符合题意。
- 选项D：
已知四边形$ABCD$是平行四边形，则$AD// BC$，所以$∠ ADB=∠ CBD$。
若$∠ ABD = ∠ CBD$，则$∠ ABD=∠ ADB$，所以$AB = AD$。
根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知平行四边形$ABCD$是菱形，该选项符合题意。
综上，答案是A选项。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定
【点评】
本题主要考查菱形的判定定理，需要学生熟练掌握并能灵活运用。
【难度系数】
0.6