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11. 如图，点 $E$ 为菱形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 上一点，直线 $DE$ 交射线 $AB$ 于点 $F$，$AD = 10$，
$AC = 8\sqrt{5}$.
（1）求此菱形的面积.
（2）当 $△ BEF$ 是直角三角形时，求 $AE$ 的长.
$AC = 8\sqrt{5}$.
（1）求此菱形的面积.
（2）当 $△ BEF$ 是直角三角形时，求 $AE$ 的长.
答案
11.解: (1)如图1，连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO，$AO=\frac{1}{2}AC=4\sqrt{5}$，AC⊥BD，
∴OD=$\sqrt{AD^{2}-AO^{2}}=\sqrt{10^{2}-(4\sqrt{5})^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴BD=4$\sqrt{5}$，
∴$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}×8\sqrt{5}×4\sqrt{5}=80$.
(2)①当∠EFB=90°时，如图2，
∵∠EFB=90°，
∴S菱形ABCD=10×DF=80，
∴DF=8，
∴AF=$\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}=\sqrt{100 - 64}=6$，
∴BF=4.
∵AC垂直平分BD，
∴DE=BE.
∵BE²=EF²+BF²，
∴EF²+4²=(8 - EF)²，得EF=3.在△AEF中，AE=$\sqrt{6^{2}+3^{2}}=3\sqrt{5}$.
②当∠BEF=90°时，如图3，连接BD交AC于点O，当E在AO上时，则△EDB是等腰直角三角形，BD=4$\sqrt{5}$，
∴OE=2$\sqrt{5}$，
∴AE=2$\sqrt{5}$.当E在OC上时，同理可求AE=6$\sqrt{5}$.
③当∠FBE=90°时，如图4，
∵AE²=BE²+AB²，AE·OB=BA·BE，
∴AE²=BE²+100，$2\sqrt{5}AE=10BE$，
∴AE=5$\sqrt{5}$.
综上所述，AE的长为$3\sqrt{5}$或$2\sqrt{5}$或$5\sqrt{5}$或$6\sqrt{5}$.
12. (2025·凉山州)如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是边
CD 的中点，过点 E 作 EF ⊥ BD 于点 F，EG ⊥ AC 于点 G，若 AC = 12，BD = 16，则 FG 的长为
CD 的中点，过点 E 作 EF ⊥ BD 于点 F，EG ⊥ AC 于点 G，若 AC = 12，BD = 16，则 FG 的长为
5
.答案
12.5
解析
【解析】
因为四边形$ABCD$是菱形，$AC = 12$，$BD = 16$，所以$OC=\frac{1}{2}AC = 6$，$OD=\frac{1}{2}BD = 8$，$AC⊥BD$。
根据勾股定理可得$CD=\sqrt{OC^{2}+OD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
因为$E$是$CD$中点，$EF⊥BD$，$EG⊥AC$，$AC⊥BD$，所以四边形$OGEF$是矩形，$FG = OE$。
又因为直角三角形斜边中线等于斜边一半，所以$OE=\frac{1}{2}CD = 5$，即$FG = 5$。
【答案】
$5$
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质
【点评】
本题综合考查菱形相关性质，需熟练运用各定理进行推理计算。
【难度系数】
$0.3$
因为四边形$ABCD$是菱形，$AC = 12$，$BD = 16$，所以$OC=\frac{1}{2}AC = 6$，$OD=\frac{1}{2}BD = 8$，$AC⊥BD$。
根据勾股定理可得$CD=\sqrt{OC^{2}+OD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
因为$E$是$CD$中点，$EF⊥BD$，$EG⊥AC$，$AC⊥BD$，所以四边形$OGEF$是矩形，$FG = OE$。
又因为直角三角形斜边中线等于斜边一半，所以$OE=\frac{1}{2}CD = 5$，即$FG = 5$。
【答案】
$5$
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质
【点评】
本题综合考查菱形相关性质，需熟练运用各定理进行推理计算。
【难度系数】
$0.3$
13. (2025·辽宁)如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$AC = 8$，$BD =$
$12$，点 $E$ 在线段 $OA$ 上，$AE = 2$，点 $F$ 在线段 $OC$ 上，$OF = 1$，连接 $BE$，点 $G$ 为 $BE$ 的中点，
连接 $FG$，则 $FG$ 的长为 .
$12$，点 $E$ 在线段 $OA$ 上，$AE = 2$，点 $F$ 在线段 $OC$ 上，$OF = 1$，连接 $BE$，点 $G$ 为 $BE$ 的中点，
连接 $FG$，则 $FG$ 的长为 .
答案
13. $\sqrt{13}$
解析
【解析】
因为四边形$ABCD$是菱形，$AC = 8$，$BD = 12$，所以$AO=\frac{1}{2}AC = 4$，$BO=\frac{1}{2}BD = 6$，$AC⊥ BD$。
又因为$AE = 2$，所以$OE=AO - AE = 4 - 2 = 2$。
取$OB$的中点$H$，连接$GH$，$FH$。
因为$G$是$BE$的中点，$H$是$OB$的中点，所以$GH// OE$，$GH=\frac{1}{2}OE = 1$。
因为$OF = 1$，$OH=\frac{1}{2}OB = 3$，$∠ BOC = 90°$，所以$FH=\sqrt{OH^{2}+OF^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$。
因为$GH// OE$，$AC⊥ BD$，所以$GH⊥ OB$，又$FH⊥ OB$，所以$G$，$H$，$F$三点共线。
所以$FG=\sqrt{GH^{2}+FH^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{10})^{2}}=\sqrt{1 + 10}=\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题通过作辅助线，利用菱形性质、三角形中位线定理和勾股定理求解，考查学生对几何知识综合运用能力。
【难度系数】
0.3
因为四边形$ABCD$是菱形，$AC = 8$，$BD = 12$，所以$AO=\frac{1}{2}AC = 4$，$BO=\frac{1}{2}BD = 6$，$AC⊥ BD$。
又因为$AE = 2$，所以$OE=AO - AE = 4 - 2 = 2$。
取$OB$的中点$H$，连接$GH$，$FH$。
因为$G$是$BE$的中点，$H$是$OB$的中点，所以$GH// OE$，$GH=\frac{1}{2}OE = 1$。
因为$OF = 1$，$OH=\frac{1}{2}OB = 3$，$∠ BOC = 90°$，所以$FH=\sqrt{OH^{2}+OF^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$。
因为$GH// OE$，$AC⊥ BD$，所以$GH⊥ OB$，又$FH⊥ OB$，所以$G$，$H$，$F$三点共线。
所以$FG=\sqrt{GH^{2}+FH^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{10})^{2}}=\sqrt{1 + 10}=\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题通过作辅助线，利用菱形性质、三角形中位线定理和勾股定理求解，考查学生对几何知识综合运用能力。
【难度系数】
0.3
