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6. 如图，$AD$是$△ ABC$的角平分线，$AD$的垂直平分线交$AD$于点$E$，交$BC$的延长线于点$F$。
(1) 判断$△ AFC$与$△ BFA$是否相似，并说明理由。
(2) $DF$是$FB$、$FC$的比例中项吗？为什么？
(1) 判断$△ AFC$与$△ BFA$是否相似，并说明理由。
(2) $DF$是$FB$、$FC$的比例中项吗？为什么？
答案
解：(1)△AFC∽△BFA
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∵EF垂直平分AD
∴AF=DF
∴∠EAF=∠EDF
∴∠EAF-∠DAC=∠EDF-∠BAD，即∠CAF=∠B
又∠AFC=∠BFA
∴△AFC∽△BFA
(2)DF是FB、FC的比例中项
∵△AFC∽△BFA
∴$\frac {AF}{FC}=\frac {FB}{AF}$
∴$AF^2=FB · FC$
又AF=DF
∴$DF^2=FB · FC$
∴DF是FB、FC的比例中项
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∵EF垂直平分AD
∴AF=DF
∴∠EAF=∠EDF
∴∠EAF-∠DAC=∠EDF-∠BAD，即∠CAF=∠B
又∠AFC=∠BFA
∴△AFC∽△BFA
(2)DF是FB、FC的比例中项
∵△AFC∽△BFA
∴$\frac {AF}{FC}=\frac {FB}{AF}$
∴$AF^2=FB · FC$
又AF=DF
∴$DF^2=FB · FC$
∴DF是FB、FC的比例中项
解析
【解析】
(1) $△ AFC ∽ △ BFA$，理由如下：
∵$AD$是$△ ABC$的角平分线，
∴$∠ BAD = ∠ CAD$。
∵$EF$垂直平分$AD$，
∴$AF = DF$，
∴$∠ EAF = ∠ EDF$。
∴$∠ EAF - ∠ DAC = ∠ EDF - ∠ BAD$，即$∠ CAF = ∠ B$。
又
∵$∠ AFC = ∠ BFA$（公共角），
∴$△ AFC ∽ △ BFA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) $DF$是$FB$、$FC$的比例中项，理由如下：
∵$△ AFC ∽ △ BFA$，
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{FB}{AF}$，
∴$AF^2 = FB · FC$。
又
∵$AF = DF$（$EF$垂直平分$AD$），
∴$DF^2 = FB · FC$，
∴$DF$是$FB$、$FC$的比例中项。
【答案】
(1) $\boldsymbol{△ AFC ∽ △ BFA}$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{DF}$是$\boldsymbol{FB}$、$\boldsymbol{FC}$的比例中项，理由见解析。
【知识点】
角平分线的性质、垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查角平分线、垂直平分线的性质与相似三角形的判定和性质，解题关键是通过角的等量代换找到三角形相似的条件，再利用相似三角形的性质推导线段的比例关系，需熟练掌握相关几何性质的综合运用。
(1) $△ AFC ∽ △ BFA$，理由如下：
∵$AD$是$△ ABC$的角平分线，
∴$∠ BAD = ∠ CAD$。
∵$EF$垂直平分$AD$，
∴$AF = DF$，
∴$∠ EAF = ∠ EDF$。
∴$∠ EAF - ∠ DAC = ∠ EDF - ∠ BAD$，即$∠ CAF = ∠ B$。
又
∵$∠ AFC = ∠ BFA$（公共角），
∴$△ AFC ∽ △ BFA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) $DF$是$FB$、$FC$的比例中项，理由如下：
∵$△ AFC ∽ △ BFA$，
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{FB}{AF}$，
∴$AF^2 = FB · FC$。
又
∵$AF = DF$（$EF$垂直平分$AD$），
∴$DF^2 = FB · FC$，
∴$DF$是$FB$、$FC$的比例中项。
【答案】
(1) $\boldsymbol{△ AFC ∽ △ BFA}$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{DF}$是$\boldsymbol{FB}$、$\boldsymbol{FC}$的比例中项，理由见解析。
【知识点】
角平分线的性质、垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查角平分线、垂直平分线的性质与相似三角形的判定和性质，解题关键是通过角的等量代换找到三角形相似的条件，再利用相似三角形的性质推导线段的比例关系，需熟练掌握相关几何性质的综合运用。
1. 如图，D 是 AB 的中点，DE $//$ BC，DE 交 AC 于点 E，则 DE：BC = ，△ADE 的面积：梯形 DBCE 的面积 = .
答案
1：2
1：3
1：3
解析
【解析】
1. 因为D是AB的中点，$DE// BC$，所以DE是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理，$DE=\frac{1}{2}BC$，故$DE:BC=1:2$。
2. 由$DE// BC$，可得$△ ADE∽△ ABC$，相似比为$1:2$。根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=1:4$。
3. 设$S_{△ ADE}=k$，则$S_{△ ABC}=4k$，梯形DBCE的面积为$4k - k=3k$，所以$S_{△ ADE}:S_{梯形DBCE}=1:3$。
【答案】
$1:2$；$1:3$
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的性质
【点评】
本题主要考查三角形中位线定理与相似三角形性质的综合应用，需熟练掌握中位线的判定与性质，以及相似三角形面积比与相似比的关系，通过面积的转化求解梯形与三角形的面积比。
1. 因为D是AB的中点，$DE// BC$，所以DE是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理，$DE=\frac{1}{2}BC$，故$DE:BC=1:2$。
2. 由$DE// BC$，可得$△ ADE∽△ ABC$，相似比为$1:2$。根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=1:4$。
3. 设$S_{△ ADE}=k$，则$S_{△ ABC}=4k$，梯形DBCE的面积为$4k - k=3k$，所以$S_{△ ADE}:S_{梯形DBCE}=1:3$。
【答案】
$1:2$；$1:3$
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的性质
【点评】
本题主要考查三角形中位线定理与相似三角形性质的综合应用，需熟练掌握中位线的判定与性质，以及相似三角形面积比与相似比的关系，通过面积的转化求解梯形与三角形的面积比。
2. 如图，在 $□ ABCD$ 中，E 是 DC 的中点，AE 与 BD 相交于点 O.若△DOE 的面积等于 9，则△AOB 的面积等于().
A.18
B.27
C.36
D.45
A.18
B.27
C.36
D.45
答案
C
解析
【解析】
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB // CD$，$AB = CD$。
又因为E是DC的中点，所以$DE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$。
由$AB // CD$，可得$△ DOE ∽ △ BOA$，相似比为$DE:AB = 1:2$。
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以$S_{△ DOE}:S_{△ AOB} = 1^2:2^2 = 1:4$。
已知$S_{△ DOE}=9$，则$S_{△ AOB}=9×4=36$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形性质与相似三角形性质的综合应用，关键是通过平行关系得到相似三角形，再利用相似三角形面积比与相似比的关系求解。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB // CD$，$AB = CD$。
又因为E是DC的中点，所以$DE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$。
由$AB // CD$，可得$△ DOE ∽ △ BOA$，相似比为$DE:AB = 1:2$。
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以$S_{△ DOE}:S_{△ AOB} = 1^2:2^2 = 1:4$。
已知$S_{△ DOE}=9$，则$S_{△ AOB}=9×4=36$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形性质与相似三角形性质的综合应用，关键是通过平行关系得到相似三角形，再利用相似三角形面积比与相似比的关系求解。
3. 若△ABC $∽$ △$A_1B_1C_1$，面积比为 3：1，△$A_1B_1C_1$ $∽$ △$A_2B_2C_2$，相似比为 3：1，则△ABC 与△$A_2B_2C_2$ 的周长比为().
A.3：1
B.$\sqrt{3}$：1
C.$3\sqrt{3}$：1
D.1：$\sqrt{3}$
A.3：1
B.$\sqrt{3}$：1
C.$3\sqrt{3}$：1
D.1：$\sqrt{3}$
答案
C
解析
【解析】
1. 因为△ABC∽△A₁B₁C₁，面积比为3:1，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得二者相似比为$\sqrt{3}:1$；
2. 又△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，相似比为3:1；
3. 则△ABC与△A₂B₂C₂的相似比为$\sqrt{3}×3:1×1=3\sqrt{3}:1$；
4. 根据相似三角形周长比等于相似比，可知△ABC与△A₂B₂C₂的周长比为$3\sqrt{3}:1$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形面积比性质、相似三角形周长比性质
【点评】
本题考查相似三角形的核心性质，需牢记相似三角形面积比为相似比的平方、周长比等于相似比，同时注意多个相似三角形间相似比的传递计算。
1. 因为△ABC∽△A₁B₁C₁，面积比为3:1，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得二者相似比为$\sqrt{3}:1$；
2. 又△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，相似比为3:1；
3. 则△ABC与△A₂B₂C₂的相似比为$\sqrt{3}×3:1×1=3\sqrt{3}:1$；
4. 根据相似三角形周长比等于相似比，可知△ABC与△A₂B₂C₂的周长比为$3\sqrt{3}:1$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形面积比性质、相似三角形周长比性质
【点评】
本题考查相似三角形的核心性质，需牢记相似三角形面积比为相似比的平方、周长比等于相似比，同时注意多个相似三角形间相似比的传递计算。
