登录
4. 已知△ABC $∽$ △$A'B'C'$，它们的周长分别为 60 cm 和 72 cm，且 AB = 15 cm，$B'C'$ = 24 cm.求 $A'B'$ 和 BC 的长.
答案
解：
∵△ABC∽△A'B'C'
∴$\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {AB+BC+AC}{A'C'+B'C'+A'C'}=\frac {60}{72}$
又
∵$AB=15\ \mathrm {cm}$，$B'C'=24\ \mathrm {cm}$
∴$A'B'=18\ \mathrm {cm}$，$BC=20\ \mathrm {cm}$
∵△ABC∽△A'B'C'
∴$\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {AB+BC+AC}{A'C'+B'C'+A'C'}=\frac {60}{72}$
又
∵$AB=15\ \mathrm {cm}$，$B'C'=24\ \mathrm {cm}$
∴$A'B'=18\ \mathrm {cm}$，$BC=20\ \mathrm {cm}$
解析
【解析】
∵△ABC∽△A'B'C'
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ A'B'C'}}=\frac{60}{72}=\frac{5}{6}$
又
∵AB = 15 cm，$B'C'$ = 24 cm
由$\frac{15}{A'B'}=\frac{5}{6}$，解得$A'B'=18$ cm；
由$\frac{BC}{24}=\frac{5}{6}$，解得$BC=20$ cm。
【答案】
$A'B'=18\ \mathrm{cm}$，$BC=20\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题借助相似三角形周长比等于对应边比的性质求解，解题时需准确找准对应边，避免对应关系混淆。
∵△ABC∽△A'B'C'
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ A'B'C'}}=\frac{60}{72}=\frac{5}{6}$
又
∵AB = 15 cm，$B'C'$ = 24 cm
由$\frac{15}{A'B'}=\frac{5}{6}$，解得$A'B'=18$ cm；
由$\frac{BC}{24}=\frac{5}{6}$，解得$BC=20$ cm。
【答案】
$A'B'=18\ \mathrm{cm}$，$BC=20\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题借助相似三角形周长比等于对应边比的性质求解，解题时需准确找准对应边，避免对应关系混淆。
5. 如图，DE $//$ BC，DE 分别交 AB、AC 于点 D、E，CD 与 BE 相交于点 O.设△DOE 的面积：△COB 的面积 = 4：9，求 $\frac{AE}{AC}$ 的值.
答案
解：∵DE//BC
∴∠DEB=∠EBC，∠EDC=∠DCB
∴△DOE∽△COB
由△DOE与△COB的面积比为4：9
可得△DOE与△COB的相似比为2：3
∴$\frac {DE}{BC}=\frac 23$
∵DE//BC
∴$\frac {AE}{AC}=\frac {DE}{BC}=\frac 23$
∴∠DEB=∠EBC，∠EDC=∠DCB
∴△DOE∽△COB
由△DOE与△COB的面积比为4：9
可得△DOE与△COB的相似比为2：3
∴$\frac {DE}{BC}=\frac 23$
∵DE//BC
∴$\frac {AE}{AC}=\frac {DE}{BC}=\frac 23$
解析
【解析】
∵DE//BC
∴∠DEB=∠EBC，∠EDC=∠DCB
∴△DOE∽△COB
∵△DOE的面积：△COB的面积 = 4：9，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得△DOE与△COB的相似比为2：3
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$
∵DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例
【点评】
本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是通过相似三角形的面积比求出相似比，进而利用平行线分线段成比例得到所求线段的比值。
∵DE//BC
∴∠DEB=∠EBC，∠EDC=∠DCB
∴△DOE∽△COB
∵△DOE的面积：△COB的面积 = 4：9，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得△DOE与△COB的相似比为2：3
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$
∵DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例
【点评】
本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是通过相似三角形的面积比求出相似比，进而利用平行线分线段成比例得到所求线段的比值。
6. 已知△ABC $∽$ △$A'B'C'$，相似比为 $\frac{3}{2}$.
（1）设△ABC 与△$A'B'C'$ 的周长的和为 20 cm，求这两个三角形的周长；
（2）设△ABC 与△$A'B'C'$ 的面积的差为 5 $cm^2$，求这两个三角形的面积.
（1）设△ABC 与△$A'B'C'$ 的周长的和为 20 cm，求这两个三角形的周长；
（2）设△ABC 与△$A'B'C'$ 的面积的差为 5 $cm^2$，求这两个三角形的面积.
答案
解：(1)△ABC的周长$=20×\frac 3{3+2}=12(\mathrm {cm})$
△A'B'C'的周长$=20×\frac 2{3+2}=8(\mathrm {cm})$
(2)∵△ABC与△A'B'C'的相似比为$\frac 32$
∴面积比为$\frac 94$
∴$S_{△ABC}=5÷\frac {9-4}9=9(\mathrm {cm^2})$，$S_{△A'B'C'}=5÷\frac {9-4}4=4(\mathrm {cm^2})$
△A'B'C'的周长$=20×\frac 2{3+2}=8(\mathrm {cm})$
(2)∵△ABC与△A'B'C'的相似比为$\frac 32$
∴面积比为$\frac 94$
∴$S_{△ABC}=5÷\frac {9-4}9=9(\mathrm {cm^2})$，$S_{△A'B'C'}=5÷\frac {9-4}4=4(\mathrm {cm^2})$
解析
【解析】
(1) 因为相似三角形的周长比等于相似比，△ABC与△A'B'C'的相似比为$\frac{3}{2}$，所以它们的周长比为$\frac{3}{2}$。
已知两个三角形周长和为20 cm，因此：
△ABC的周长$=20×\frac{3}{3+2}=12$（cm）
△A'B'C'的周长$=20×\frac{2}{3+2}=8$（cm）
(2) 因为△ABC与△A'B'C'的相似比为$\frac{3}{2}$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得它们的面积比为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$。
已知两个三角形面积差为5 $cm^2$，则：
$S_{△ABC}=5÷\frac{9-4}{9}=9$（$cm^2$）
$S_{△A'B'C'}=5÷\frac{9-4}{4}=4$（$cm^2$）
【答案】
(1) △ABC的周长为12 cm，△A'B'C'的周长为8 cm；
(2) △ABC的面积为9 $cm^2$，△A'B'C'的面积为4 $cm^2$。
【知识点】
相似三角形周长性质；相似三角形面积性质
【点评】
本题考查相似三角形的周长与面积性质，需明确周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，利用比例关系结合已知条件求解，注意区分周长比与面积比和相似比的不同关系。
(1) 因为相似三角形的周长比等于相似比，△ABC与△A'B'C'的相似比为$\frac{3}{2}$，所以它们的周长比为$\frac{3}{2}$。
已知两个三角形周长和为20 cm，因此：
△ABC的周长$=20×\frac{3}{3+2}=12$（cm）
△A'B'C'的周长$=20×\frac{2}{3+2}=8$（cm）
(2) 因为△ABC与△A'B'C'的相似比为$\frac{3}{2}$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得它们的面积比为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$。
已知两个三角形面积差为5 $cm^2$，则：
$S_{△ABC}=5÷\frac{9-4}{9}=9$（$cm^2$）
$S_{△A'B'C'}=5÷\frac{9-4}{4}=4$（$cm^2$）
【答案】
(1) △ABC的周长为12 cm，△A'B'C'的周长为8 cm；
(2) △ABC的面积为9 $cm^2$，△A'B'C'的面积为4 $cm^2$。
【知识点】
相似三角形周长性质；相似三角形面积性质
【点评】
本题考查相似三角形的周长与面积性质，需明确周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，利用比例关系结合已知条件求解，注意区分周长比与面积比和相似比的不同关系。
