3. 如图，在$□ ABCD$中，$E$是$AD$的中点，点$F$在$AB$上，且$△ CBF∽△ CDE$。已知$AB = 10$，$AD = 6$，则$AF$的值为()。

A.5
B.8.2
C.6.4
D.1.8

B

【解析】
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB=CD=10$，$AD=BC=6$，$∠ B=∠ D$。
∵ $E$是$AD$的中点，
∴ $DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×6=3$。
∵ $△ CBF ∽ △ CDE$，
∴ $\frac{BC}{CD}=\frac{BF}{DE}$，即$\frac{6}{10}=\frac{BF}{3}$，
解得$BF=1.8$。
∴ $AF=AB-BF=10-1.8=8.2$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的性质
【点评】
本题考查平行四边形与相似三角形的综合应用，需准确把握平行四边形对边相等、对角相等的性质，以及相似三角形对应边成比例的性质，注意相似三角形对应边的对应关系，避免比例混淆。

4. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$在$BC$上，$DE$、$AB$的延长线相交于点$F$。图中相似三角形共有()。

A.4对
B.3对
C.2对
D.1对

B

【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC。
1. 由AB//CD，得∠F=∠CDE，∠FBE=∠C，故△BEF∽△CED（两角分别相等的两个三角形相似）；
2. 由AD//BC，得∠FBE=∠A，∠FEB=∠FDA，故△BEF∽△ADF（两角分别相等的两个三角形相似）；
3. 由△BEF∽△CED，△BEF∽△ADF，可得△CED∽△ADF（或通过平行关系证两角分别相等得相似）。
综上，图中相似三角形共有3对。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题考查平行四边形性质与相似三角形判定的综合应用，需利用平行四边形对边平行的性质，结合两角分别相等的三角形相似的判定定理，准确识别所有相似三角形，避免遗漏。

5. 如图，$∠ ABC = ∠ CDB = 90^{\circ}$，$AC// BD$。
(1) $△ ABC$与$△ CDB$是否相似？为什么？
(2) 设$AB = 8$，$BC = 6$，求$CD$、$BD$的值。

解：​(1)△ABC∽△CDB​
∵​AC//BD​
∴​∠ACB=∠CBD​
又​∠ABC=∠CDB=90°​
∴​△ABC∽△CDB​
​(2)​
∵​AB=8，​​BC=6，​​∠ABC=90°​
∴​AC=10​
∵​△ABC∽△CDB​
∴$​\frac {CD}{AB}=\frac {BD}{BC}=\frac {BC}{AC}=\frac {6}{10}​$
∴​CD=4.8，​​BD=3.6​

【解析】
(1) $△ ABC ∽ △ CDB$，理由如下：
$\because AC// BD$
$\therefore ∠ ACB=∠ CBD$
又$\because ∠ ABC=∠ CDB=90^{\circ}$
$\therefore △ ABC ∽ △ CDB$（两角分别相等的两个三角形相似）
(2) $\because AB=8$，$BC=6$，$∠ ABC=90^{\circ}$
$\therefore$ 由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$
$\because △ ABC ∽ △ CDB$
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{10}$
$\therefore CD=8×\frac{6}{10}=4.8$，$BD=6×\frac{6}{10}=3.6$
【答案】
(1) $△ ABC$与$△ CDB$相似，理由见解析；
(2) $CD=4.8$，$BD=3.6$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质
【点评】
本题综合考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，熟练运用相关定理进行推理计算是解题的核心。