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1. 若 $ P $ 为直线 $ l $ 外一点，$ A $，$ B $，$ C $ 为直线 $ l $ 上三点，$ PA = 5 \mathrm{ cm} $，$ PB = 3 \mathrm{ cm} $，$ PC = 4 \mathrm{ cm} $，则点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离()
A.等于 $ 4 \mathrm{ cm} $
B.等于 $ 3 \mathrm{ cm} $
C.小于 $ 3 \mathrm{ cm} $
D.不大于 $ 3 \mathrm{ cm} $
A.等于 $ 4 \mathrm{ cm} $
B.等于 $ 3 \mathrm{ cm} $
C.小于 $ 3 \mathrm{ cm} $
D.不大于 $ 3 \mathrm{ cm} $
答案
D
解析
根据点到直线的距离的定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长度。
根据垂线段最短的性质，点P到直线l的距离应小于或等于P到直线l上各点的距离的最小值。
已知$PA=5\mathrm{cm}, PB=3\mathrm{cm}, PC=4\mathrm{cm}$，因此最小距离为$PB=3 \mathrm{cm} $的情况仅当PB垂直于直线l时取到。 若PB不垂直于直线l，则点P到直线l的距离会小于$3\mathrm{cm}$。 综上所述，点P到直线l的距离不大于$3\mathrm{cm}$。
根据垂线段最短的性质，点P到直线l的距离应小于或等于P到直线l上各点的距离的最小值。
已知$PA=5\mathrm{cm}, PB=3\mathrm{cm}, PC=4\mathrm{cm}$，因此最小距离为$PB=3 \mathrm{cm} $的情况仅当PB垂直于直线l时取到。 若PB不垂直于直线l，则点P到直线l的距离会小于$3\mathrm{cm}$。 综上所述，点P到直线l的距离不大于$3\mathrm{cm}$。
2. 如图，直线 $ AB $，$ CD $ 相交于点 $ O $，$ EO ⊥ CD $，垂足为 $ O $。若 $ ∠ 1 = 54^{\circ} $，则 $ ∠ 2 $ 的度数为()
A.$ 26^{\circ} $
B.$ 36^{\circ} $
C.$ 44^{\circ} $
D.$ 54^{\circ} $
A.$ 26^{\circ} $
B.$ 36^{\circ} $
C.$ 44^{\circ} $
D.$ 54^{\circ} $
答案
B
解析
因为EO⊥CD，所以∠EOD=90°。又因为∠1=54°，所以∠BOD=∠EOD - ∠1=90° - 54°=36°。由于∠2与∠BOD是对顶角，所以∠2=∠BOD=36°。
3. 如图，$ AE ⊥ BC $，$ DA ⊥ AC $，垂足分别是 $ E $，$ A $，那么图中能以其长度表示点到直线距离的线段共有()
A.$ 3 $ 条
B.$ 4 $ 条
C.$ 5 $ 条
D.$ 6 $ 条
A.$ 3 $ 条
B.$ 4 $ 条
C.$ 5 $ 条
D.$ 6 $ 条
答案
C
解析
根据题意，$AE ⊥ BC$，所以$AE$是从点$A$到直线$BC$的垂线段，可以表示点$A$到直线$BC$的距离。
$DA ⊥ AC$，所以$DA$是从点$D$到直线$AC$的垂线段，可以表示点$D$到直线$AC$的距离。
此外，$AC$可以被视为点$C$到直线$DA$的垂线段（虽然题目没有明确给出，但根据垂直关系，$DA ⊥ AC$意味着$AC$是点$C$到$D$的垂线段之一在$DA$方向上的表示）。
但考虑到点的位置及题目中的垂直关系，我们可以确定以下垂线段：
$BD$方向上的：点$B$到$AE$的垂线段（但$AE$不直接与$B$相连，需通过$BE$或$AB$等考虑，但题目中未直接给出），然而我们可以明确的是$BE$是$B$到$AE$（如果延长）的“垂足”的线段的一部分，但在此题中我们只考虑直接给出的垂线段。
直接给出的且符合定义的有：
$AE$（点$A$到$BC$），
$DA$（点$D$到$AC$，或点$A$到$D$所在的直线，但通常我们考虑点$D$到$AC$），
还有$DE$（或看作$AE$上的一部分，但$DE$是点$D$到$AE$的垂线段，因为$AE ⊥ BC$，所以$DE$垂直于$AE$且从$D$到$AE$），
以及$AC$（如果考虑点$C$到直线$DA$的垂线段，由于$DA ⊥ AC$，所以$AC$就是点$C$到直线$DA$的垂线段），
另外，还有$CE$（点$C$到$AE$的垂线段，因为$AE ⊥ BC$，所以$CE$是点$C$到直线$AE$的垂线段的一部分，且是直接给出的）。
但需要注意，我们通常不将斜线段（如$AB$，$BC$等）视为点到直线的距离，除非它们是垂线段。
所以，总结能直接表示点到直线距离的线段有：$AE$（$A$到$BC$），$DA$（$D$到$AC$），$DE$（$D$到$AE$，也即$BC$上的一段，但视为不同的垂线段），$AC$（$C$到$DA$），$CE$（$C$到$AE$）。
共5条。
$DA ⊥ AC$，所以$DA$是从点$D$到直线$AC$的垂线段，可以表示点$D$到直线$AC$的距离。
此外，$AC$可以被视为点$C$到直线$DA$的垂线段（虽然题目没有明确给出，但根据垂直关系，$DA ⊥ AC$意味着$AC$是点$C$到$D$的垂线段之一在$DA$方向上的表示）。
但考虑到点的位置及题目中的垂直关系，我们可以确定以下垂线段：
$BD$方向上的：点$B$到$AE$的垂线段（但$AE$不直接与$B$相连，需通过$BE$或$AB$等考虑，但题目中未直接给出），然而我们可以明确的是$BE$是$B$到$AE$（如果延长）的“垂足”的线段的一部分，但在此题中我们只考虑直接给出的垂线段。
直接给出的且符合定义的有：
$AE$（点$A$到$BC$），
$DA$（点$D$到$AC$，或点$A$到$D$所在的直线，但通常我们考虑点$D$到$AC$），
还有$DE$（或看作$AE$上的一部分，但$DE$是点$D$到$AE$的垂线段，因为$AE ⊥ BC$，所以$DE$垂直于$AE$且从$D$到$AE$），
以及$AC$（如果考虑点$C$到直线$DA$的垂线段，由于$DA ⊥ AC$，所以$AC$就是点$C$到直线$DA$的垂线段），
另外，还有$CE$（点$C$到$AE$的垂线段，因为$AE ⊥ BC$，所以$CE$是点$C$到直线$AE$的垂线段的一部分，且是直接给出的）。
但需要注意，我们通常不将斜线段（如$AB$，$BC$等）视为点到直线的距离，除非它们是垂线段。
所以，总结能直接表示点到直线距离的线段有：$AE$（$A$到$BC$），$DA$（$D$到$AC$），$DE$（$D$到$AE$，也即$BC$上的一段，但视为不同的垂线段），$AC$（$C$到$DA$），$CE$（$C$到$AE$）。
共5条。
4. 在三角形 $ ABC $ 中，$ BC = 6 $，$ AC = 3 $，过点 $ C $ 作 $ CP ⊥ AB $，垂足为 $ P $，则 $ CP $ 长的最大值为()
A.$ 5 $
B.$ 4 $
C.$ 3 $
D.$ 2 $
A.$ 5 $
B.$ 4 $
C.$ 3 $
D.$ 2 $
答案
C
解析
在三角形 $ABC$ 中，$CP$ 是边 $AB$ 上的高。根据三角形面积公式，$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CP$，可得 $CP = \frac{2S_{△ ABC}}{AB}$。
因为 $AC = 3$，当 $CP$ 与 $AC$ 重合时，即 $AC ⊥ AB$，此时 $CP = AC = 3$。若 $CP$ 不与 $AC$ 重合，在直角三角形 $CPA$ 中，$CP$ 是直角边，$AC$ 是斜边，所以 $CP ＜ AC = 3$。因此，$CP$ 长的最大值为 $3$。
因为 $AC = 3$，当 $CP$ 与 $AC$ 重合时，即 $AC ⊥ AB$，此时 $CP = AC = 3$。若 $CP$ 不与 $AC$ 重合，在直角三角形 $CPA$ 中，$CP$ 是直角边，$AC$ 是斜边，所以 $CP ＜ AC = 3$。因此，$CP$ 长的最大值为 $3$。
