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5. 在平面内，将长分别为 $1$，$2$，$4$，$x$ 的线段首尾顺次相接组成一个凸四边形，则 $x$ 的值可能是()
A.$1$
B.$2$
C.$7$
D.$8$
A.$1$
B.$2$
C.$7$
D.$8$
答案
B
解析
根据三角形三边关系的推广，凸四边形中任意三边之和大于第四边。已知线段长为1，2，4，x，可得：
1+2+4 ＞ x，即x ＜ 7；
1+2+x ＞ 4，即x ＞ 1；
1+4+x ＞ 2，即x ＞ -3（恒成立）；
2+4+x ＞ 1，即x ＞ -5（恒成立）。
综上，1 ＜ x ＜ 7，选项中只有2符合，故选B。
1+2+4 ＞ x，即x ＜ 7；
1+2+x ＞ 4，即x ＞ 1；
1+4+x ＞ 2，即x ＞ -3（恒成立）；
2+4+x ＞ 1，即x ＞ -5（恒成立）。
综上，1 ＜ x ＜ 7，选项中只有2符合，故选B。
6. 如图，用四根木条钉成四边形木架，要使该木架不变形，至少要再钉上根木条.
答案
1. 四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性。
2. 要使四边形木架不变形，需将其转化为三角形结构。
3. 连接四边形的一条对角线，可将四边形分成两个三角形，此时木架稳定。
4. 因此，至少要再钉上1根木条。
1
2. 要使四边形木架不变形，需将其转化为三角形结构。
3. 连接四边形的一条对角线，可将四边形分成两个三角形，此时木架稳定。
4. 因此，至少要再钉上1根木条。
1
7. 若一个四边形的每个外角都为 $m^{\circ}$，则 $m$ 的值为.
答案
∵ 四边形的外角和为$360^{\circ}$，且每个外角都为$m^{\circ}$，
$\therefore 4m = 360$，
解得$m = 90$。
故答案为：$90$。
$\therefore 4m = 360$，
解得$m = 90$。
故答案为：$90$。
8. 在四边形 $ABCD$ 中，若 $∠ A+∠ C = 180^{\circ}$，则 $∠ B$ 与 $∠ D$ 的数量关系是.
答案
根据四边形的内角和性质得：$∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360^{\circ}$。
已知$∠A + ∠C = 180^{\circ}$，代入上式得：
$∠B + ∠D = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$。
故答案为：$∠B + ∠D = 180^{\circ}$。
已知$∠A + ∠C = 180^{\circ}$，代入上式得：
$∠B + ∠D = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$。
故答案为：$∠B + ∠D = 180^{\circ}$。
9. 若一个四边形四个内角的度数比为 $1:2:3:2$，则其最大的内角度数为.
答案
设四边形的四个内角的度数分别为 $x$, $2x$, $3x$, $2x$。
根据四边形的内角和性质，四个内角的和为 $360°$，即：
$x + 2x + 3x + 2x = 360°$，
合并同类项，得：
$8x = 360°$，
从中解出 $x$，得：
$x = 45°$，
最大的内角为 $3x$，即：
$3 × 45° = 135°$。
故答案为：$135°$。
根据四边形的内角和性质，四个内角的和为 $360°$，即：
$x + 2x + 3x + 2x = 360°$，
合并同类项，得：
$8x = 360°$，
从中解出 $x$，得：
$x = 45°$，
最大的内角为 $3x$，即：
$3 × 45° = 135°$。
故答案为：$135°$。
10. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ A=∠ C = 90^{\circ}$，$∠ EDN = n∠ CDE$，$∠ EBM = n∠ CBE$，其中 $n＞2$，则 $∠ BED=$.(用含 $n$ 的式子表示)
答案
在四边形$ABCD$中，$∠ A = ∠ C = 90°$，四边形内角和为$360°$，故$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$。
设$∠ CDE = α$，则$∠ EDN = nα$，因$DN$为直线，$∠ ADC = 180° - α - nα = 180° - α(n + 1)$。
设$∠ CBE = β$，则$∠ EBM = nβ$，因$BM$为直线，$∠ ABC = 180° - β - nβ = 180° - β(n + 1)$。
由$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$，得：
$[180° - α(n + 1)] + [180° - β(n + 1)] = 180°$
化简得$(n + 1)(α + β) = 180°$，故$α + β = \frac{180°}{n + 1}$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CBD + ∠ CDB = 90°$，设$∠ CBD = \gamma$，$∠ CDB = \delta$，则$\gamma + \delta = 90°$。
$∠ EBD = \gamma - β$，$∠ EDB = \delta - α$，在$△ BED$中：
$∠ BED = 180° - (\gamma - β) - (\delta - α) = 180° - (\gamma + \delta) + (α + β)$
代入$\gamma + \delta = 90°$和$α + β = \frac{180°}{n + 1}$，得：
$∠ BED = 180° - 90° + \frac{180°}{n + 1} = 90° + \frac{180°}{n + 1} = \frac{90°(n + 3)}{n + 1}$
$\frac{90(n + 3)}{n + 1}$
设$∠ CDE = α$，则$∠ EDN = nα$，因$DN$为直线，$∠ ADC = 180° - α - nα = 180° - α(n + 1)$。
设$∠ CBE = β$，则$∠ EBM = nβ$，因$BM$为直线，$∠ ABC = 180° - β - nβ = 180° - β(n + 1)$。
由$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$，得：
$[180° - α(n + 1)] + [180° - β(n + 1)] = 180°$
化简得$(n + 1)(α + β) = 180°$，故$α + β = \frac{180°}{n + 1}$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CBD + ∠ CDB = 90°$，设$∠ CBD = \gamma$，$∠ CDB = \delta$，则$\gamma + \delta = 90°$。
$∠ EBD = \gamma - β$，$∠ EDB = \delta - α$，在$△ BED$中：
$∠ BED = 180° - (\gamma - β) - (\delta - α) = 180° - (\gamma + \delta) + (α + β)$
代入$\gamma + \delta = 90°$和$α + β = \frac{180°}{n + 1}$，得：
$∠ BED = 180° - 90° + \frac{180°}{n + 1} = 90° + \frac{180°}{n + 1} = \frac{90°(n + 3)}{n + 1}$
$\frac{90(n + 3)}{n + 1}$
11. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ A+∠ C = 180^{\circ}$，$BE$ 平分 $∠ ABC$，$DF$ 平分 $∠ ADC$，$BE// DF$. 求证：$DC⊥ BC$.
答案
证明：
∵四边形内角和为360°，∠A + ∠C = 180°，
∴∠ABC + ∠ADC = 360° - (∠A + ∠C) = 180°。
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴设∠EBC = ∠ABE = x，∠FDC = ∠ADF = y，
则∠ABC = 2x，∠ADC = 2y，
∴2x + 2y = 180°，即x + y = 90°。
∵BE//DF，
∴∠EBC = ∠DFC（两直线平行，同位角相等），即∠DFC = x。
在△DFC中，∠DFC + ∠FDC + ∠C = 180°，
即x + y + ∠C = 180°。
∵x + y = 90°，
∴90° + ∠C = 180°，解得∠C = 90°。
∴DC⊥BC。
∵四边形内角和为360°，∠A + ∠C = 180°，
∴∠ABC + ∠ADC = 360° - (∠A + ∠C) = 180°。
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴设∠EBC = ∠ABE = x，∠FDC = ∠ADF = y，
则∠ABC = 2x，∠ADC = 2y，
∴2x + 2y = 180°，即x + y = 90°。
∵BE//DF，
∴∠EBC = ∠DFC（两直线平行，同位角相等），即∠DFC = x。
在△DFC中，∠DFC + ∠FDC + ∠C = 180°，
即x + y + ∠C = 180°。
∵x + y = 90°，
∴90° + ∠C = 180°，解得∠C = 90°。
∴DC⊥BC。
