2. 在四边形$ABCD$中，$AB // CD$，$AC$与$BD$相交于点$O$，下列条件不能判定四边形$ABCD$是菱形的是().

A.$AB = BC$，$∠ BAD = ∠ BCD$
B.$AB = CD$，$∠ AOD = 90°$
C.$OA = OC$，$∠ ABD = ∠ CBD$
D.$AC = BD$，$AC ⊥ BD$

D

1. 选项A：
由$AB// CD$得$∠ BAD+∠ ADC=180°$，结合$∠ BAD=∠ BCD$，得$∠ BCD+∠ ADC=180°$，故$AD// BC$，四边形$ABCD$是平行四边形。又$AB=BC$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定为菱形。
2. 选项B：
由$AB// CD$且$AB=CD$，得四边形$ABCD$是平行四边形。又$∠ AOD=90°$，即对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定为菱形。
3. 选项C：
由$AB// CD$，$OA=OC$，可证$△ AOB≌△ COD$，得$AB=CD$，故四边形$ABCD$是平行四边形。由$AB// CD$得$∠ ABD=∠ CDB$，结合$∠ ABD=∠ CBD$，得$∠ CBD=∠ CDB$，即$CB=CD$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定为菱形。
4. 选项D：
$AB// CD$，$AC=BD$且$AC⊥ BD$，无法推出四边形$ABCD$是平行四边形（如对角线垂直的等腰梯形满足该条件，但不是菱形），故不能判定为菱形。

3. 如图，在$△ ABC$中，$D$为$BC$上一点，$DE // AB$，$DF // AC$. 增加下列条件能判定四边形$AFDE$为菱形的是().


A.点$D$在$∠ BAC$的平分线上
B.$AB = AC$
C.$∠ A = 90°$
D.点$D$为$BC$的中点

A

1. 由$DE // AB$，$DF // AC$，可得四边形$AFDE$是平行四边形，依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2. 对各选项分析：
选项A：若点$D$在$∠ BAC$的平分线上，则$∠FAD=∠EAD$。因为$DF//AC$，所以$∠FDA=∠EAD$，进而$∠FAD=∠FDA$，得$AF=DF$。根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定四边形$AFDE$为菱形。
选项B：$AB=AC$仅说明$△ ABC$是等腰三角形，无法证明平行四边形$AFDE$邻边相等，不能判定为菱形。
选项C：$∠ A = 90°$时，平行四边形$AFDE$是矩形，不是菱形。
选项D：点$D$为$BC$中点时，四边形$AFDE$是平行四边形，但无法证明邻边相等，不能判定为菱形。
综上，能判定四边形$AFDE$为菱形的是选项A。

4. 下列命题中，正确的是().

A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

D

根据平行四边形和菱形的判定定理逐一分析：
A选项：一组邻边相等的平行四边形才是菱形，仅一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故A错误；
B选项：对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故B错误；
C选项：一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故C错误；
D选项：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，故D正确。

5. 如图所示的推理过程中，①②③④处可以填上条件“对角线互相垂直”的是().

A.①②
B.①④
C.①③
D.②③

C

根据特殊四边形的判定定理：
1. 平行四边形中，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故①处可填该条件；
2. 仅对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形，故②处不可填；
3. 矩形是特殊的平行四边形，对角线互相垂直的矩形是正方形（正方形属于特殊的菱形），故③处可填该条件；
4. 菱形本身对角线已互相垂直，该条件无法推出后续图形，故④处不可填。
综上，①③处可填“对角线互相垂直”。

6. 如图，在$□ ABCD$中，点$F$是$AB$的中点，连接$DF$并延长，交$CB$的延长线于点$E$，连接$AE$. 添加一个条件，使四边形$AEBD$是菱形，这个条件可以是().



A.$∠ BAD = ∠ BDA$
B.$AB = DE$
C.$DF = EF$
D.$DE$平分$∠ ADB$

D

1. 先证四边形$AEBD$是平行四边形：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，∴$AD// BE$，$∠ DAF=∠ EBF$。
∵$F$是$AB$中点，∴$AF=BF$。
在$△ AFD$和$△ BFE$中，$\begin{cases}∠ DAF=∠ EBF\\AF=BF\\∠ AFD=∠ BFE\end{cases}$，
∴$△ AFD≌△ BFE$（ASA），得$AD=BE$。
又$AD// BE$，∴四边形$AEBD$是平行四边形。
2. 分析各选项：
选项A：$∠ BAD=∠ BDA$，得$AB=BD$，但$AB$是平行四边形$AEBD$的对角线，无法推出邻边相等，不能判定为菱形。
选项B：$AB=DE$，对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形。
选项C：$DF=EF$，仅能证明四边形$AEBD$是平行四边形，无法判定为菱形。
选项D：$DE$平分$∠ ADB$，则$∠ ADE=∠ BDE$。
∵$AD// BE$，∴$∠ ADE=∠ BED$，故$∠ BDE=∠ BED$，得$BD=BE$。
∵四边形$AEBD$是平行四边形，且$BD=BE$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定四边形$AEBD$是菱形。
综上，符合条件的是选项D。

7. 如图，方格纸中有一个四边形$ABCD$($A$，$B$，$C$，$D$四点均为格点). 若方格纸中每个小正方形的边长都为$1$，则关于四边形$ABCD$的以下说法，错误的是().

A.四边形$ABCD$是菱形

B.边长为$\sqrt{13}$
C.四边形$ABCD$的面积是$12$
D.$∠ ABC = ∠ ADC = 60°$

D

1. 利用勾股定理计算边长：$AB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，同理$BC=CD=DA=\sqrt{13}$，故四边形$ABCD$是菱形，A、B选项正确。
2. 计算菱形面积：对角线$AC=4$，$BD=6$，根据菱形面积公式，面积$=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×4×6=12$，C选项正确。
3. 验证$∠ ABC$：若$∠ ABC=60°$，则$△ ABC$为等边三角形，$AC$应等于$AB$，但$4≠\sqrt{13}$，故$∠ ABC≠60°$，同理$∠ ADC≠60°$，D选项错误。