8. 如图，$□ ABCD$在平面直角坐标系$xOy$中，$A(0,4)$，$B(-3,0)$，$AD = 6$. 若点$M$在平面直角坐标系内，点$F$在线段$AB$上，且以$A$，$C$，$F$，$M$为顶点的四边形为菱形，则点$F$的坐标为.

$(-3,0)$或$\boldsymbol{(-\dfrac{42}{25},\dfrac{44}{25})}$

1. 求点$C$坐标：
四边形$ABCD$是平行四边形，$AD=6$，故$BC=AD=6$。已知$B(-3,0)$，则$C$点横坐标为$-3+6=3$，纵坐标为$0$，即$C(3,0)$。
2. 计算线段长度：
由$A(0,4)$，$B(-3,0)$，得$AB=\sqrt{(-3-0)^2+(0-4)^2}=5$；
由$A(0,4)$，$C(3,0)$，得$AC=\sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2}=5$。
3. 分情况讨论：
① 当$AC$为菱形的边，且$AF=AC=5$时：
因$AB=5$，故$F$与$B$重合，坐标为$(-3,0)$。
② 当$AC$为菱形的边，且$CF=AC=5$时：
先求直线$AB$的解析式：由$A(0,4)$，$B(-3,0)$得斜率为$\dfrac{4}{3}$，解析式为$y=\dfrac{4}{3}x+4$。
设$F(x,y)$，代入$CF=5$的方程$(x-3)^2+y^2=25$，结合$y=\dfrac{4}{3}x+4$，解得$x=0$（对应$A$点，舍去）或$x=-\dfrac{42}{25}$，代入得$y=\dfrac{44}{25}$，即$F(-\dfrac{42}{25},\dfrac{44}{25})$。
③ 当$AC$为菱形的对角线时，解得$F(-\dfrac{75}{14},-\dfrac{22}{7})$，该点在线段$AB$延长线上，不符合题意，舍去。
4. 综上，点$F$的坐标为$(-3,0)$或$(-\dfrac{42}{25},\dfrac{44}{25})$。

9. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ B = 60°$，$AB = 6\mathrm{cm}$，$BC = 12\mathrm{cm}$. 点$P$从点$A$出发，以$1\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度沿$A \to D$运动，同时点$Q$从点$C$出发，以$3\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度沿$C \to B \to C \to ··· ···$往复运动，当点$P$到达端点$D$时，点$Q$随之停止运动. 在此运动过程中，四边形$PQCD$是平行四边形出现次. 当点$P$出发$\mathrm{s}$时，四边形$PQCD$是菱形.

3；6

1. 计算运动总时长：点P从A到D的时间为$12÷1=12\mathrm{s}$，运动时间范围为$0≤ t≤12$。
2. 分析四边形$PQCD$为平行四边形的情况：
由$□ABCD$的性质知$AD// BC$，即$PD// QC$，故只需$PD=QC$。
当$0≤ t≤4$时，$QC=3t$，$PD=12-t$，令$12-t=3t$，解得$t=3$，第一次出现平行四边形；
当$4＜ t≤8$时，$QC=24-3t$，令$12-t=24-3t$，解得$t=6$，第二次出现平行四边形；
当$8＜ t≤12$时，$QC=3t-24$，令$12-t=3t-24$，解得$t=9$，第三次出现平行四边形；
综上，共出现3次平行四边形。
3. 分析四边形$PQCD$为菱形的情况：
需满足平行四边形条件且$CD=PD$，已知$CD=AB=6\mathrm{cm}$，则$PD=6\mathrm{cm}$，即$12-t=6$，解得$t=6\mathrm{s}$，此时$QC=6\mathrm{cm}=PD$，符合菱形判定。

10. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，点$E$，$F$分别在$BD$和$DB$的延长线上，且$DE = BF$，连接$AE$，$CF$.
(1) 求证$∠ E = ∠ F$.
(2) 连接$AF$，$CE$，当$BD$平分$∠ ABC$时，四边形$AFCE$是什么特殊四边形？请说明理由.

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形
∴ $AD = BC$，$AD// BC$
∴ $∠ ADB = ∠ CBD$
∴ $∠ ADE = ∠ CBF$
在$△ ADE$和$△ CBF$中
$\{\begin{array}{l}AD = BC \\∠ ADE = ∠ CBF \\DE = BF\end{array} $
∴ $△ ADE ≌ △ CBF$（SAS）
∴ $∠ E = ∠ F$
(2) 解：四边形$AFCE$是菱形，理由如下：
∵ $BD$平分$∠ ABC$
∴ $∠ ABD = ∠ CBD$
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形
∴ $AD// BC$
∴ $∠ ADB = ∠ CBD$
∴ $∠ ABD = ∠ ADB$
∴ $AB = AD$
∴ 平行四边形$ABCD$是菱形
∴ $AC⊥ BD$，即$AC⊥ EF$
由(1)知$△ ADE ≌ △ CBF$
∴ $AE = CF$
又∵ $∠ E = ∠ F$
∴ $AE// CF$
∴ 四边形$AFCE$是平行四边形
又∵ $AC⊥ EF$
∴ 平行四边形$AFCE$是菱形

11. 如图，将两张长为$8$、宽为$2$的矩形纸条交叉放置，交点分别为$A$，$B$，$C$，$D$.
(1) 求证重叠部分的图形是菱形.
(2) 求重叠部分图形周长的最大值和最小值.（要求画图、推理并计算）

(1) 证明：
∵ 两张纸条均为矩形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。
过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$，$AF⊥ CD$于点$F$，
∵ 两张纸条的宽均为2，
∴ $AE=AF=2$。
∵ $S_{\mathrm{▱}ABCD}=BC· AE=CD· AF$，
∴ $BC=CD$，
∴ 平行四边形$ABCD$是菱形。
(2) ① 周长最小值：
当两张纸条垂直放置时，重叠部分为正方形，此时菱形边长为2，
周长$=4×2=8$。
② 周长最大值：
当菱形的一个顶点与矩形的一个顶点重合时，设菱形的边长为$x$，
由勾股定理得：$(8-x)^2+2^2=x^2$，
展开得：$64-16x+x^2+4=x^2$，
整理得：$16x=68$，
解得：$x=\frac{17}{4}$，
此时周长$=4×\frac{17}{4}=17$。
综上，重叠部分图形周长的最大值为17，最小值为8。