7. 规定:正整数 $ n $ 的“H 运算”:
①当 $ n $ 为奇数时,$ H = 3n + 13 $;
②当 $ n $ 为偶数时,$ H = n × \frac{1}{2} $。
如:数 $ n = 3 $,经过 1 次“H 运算”的结果是 $ 3 × 3 + 13 = 22 $,
经过 2 次“H 运算”的结果是 $ 22 × \frac{1}{2} = 11 $,
经过 3 次“H 运算”的结果是 $ 11 × 3 + 13 = 46 $,
经过 4 次“H 运算”的结果是 $ 46 × \frac{1}{2} = 23 $。
请探究发现:
(1) 数 7 经过 5 次“H 运算”得到的结果;
(2) 数 7 经过 80 次“H 运算”得到的结果。
①当 $ n $ 为奇数时,$ H = 3n + 13 $;
②当 $ n $ 为偶数时,$ H = n × \frac{1}{2} $。
如:数 $ n = 3 $,经过 1 次“H 运算”的结果是 $ 3 × 3 + 13 = 22 $,
经过 2 次“H 运算”的结果是 $ 22 × \frac{1}{2} = 11 $,
经过 3 次“H 运算”的结果是 $ 11 × 3 + 13 = 46 $,
经过 4 次“H 运算”的结果是 $ 46 × \frac{1}{2} = 23 $。
请探究发现:
(1) 数 7 经过 5 次“H 运算”得到的结果;
(2) 数 7 经过 80 次“H 运算”得到的结果。
答案
(1) 第1次:7是奇数,$H=3×7+13=34$;
第2次:34是偶数,$H=34×\frac{1}{2}=17$;
第3次:17是奇数,$H=3×17+13=64$;
第4次:64是偶数,$H=64×\frac{1}{2}=32$;
第5次:32是偶数,$H=32×\frac{1}{2}=16$。
结果为16。
(2) 继续计算后续运算:
第6次:16×$\frac{1}{2}$=8;第7次:8×$\frac{1}{2}$=4;第8次:4×$\frac{1}{2}$=2;第9次:2×$\frac{1}{2}$=1;第10次:1是奇数,$3×1+13=16$。
从第5次开始循环:16,8,4,2,1(周期为5)。
第80次:$(80-5+1)÷5=15……1$,循环节第1个为16。
结果为16。
第2次:34是偶数,$H=34×\frac{1}{2}=17$;
第3次:17是奇数,$H=3×17+13=64$;
第4次:64是偶数,$H=64×\frac{1}{2}=32$;
第5次:32是偶数,$H=32×\frac{1}{2}=16$。
结果为16。
(2) 继续计算后续运算:
第6次:16×$\frac{1}{2}$=8;第7次:8×$\frac{1}{2}$=4;第8次:4×$\frac{1}{2}$=2;第9次:2×$\frac{1}{2}$=1;第10次:1是奇数,$3×1+13=16$。
从第5次开始循环:16,8,4,2,1(周期为5)。
第80次:$(80-5+1)÷5=15……1$,循环节第1个为16。
结果为16。
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