6. 从下列卡片中选择一张，将卡片上的式子作为分式$\frac{( )}{p^{3}-p}$的分子，使得这个分式为最简分式，则应选择()。

| $p^{2}$ | $p + 1$ | $p - 1$ | $p^{2}+1$ |
| --- | --- | --- | --- |
| A | B | C | D |

D

要使分式$\frac{(\quad)}{p^3 - p}$为最简分式，需分子与分母没有公因式。
1. 分母因式分解：
$p^3 - p = p(p^2 - 1) = p(p + 1)(p - 1)$，分母因式为$p$、$p + 1$、$p - 1$。
2. 分析各选项分子与分母的公因式：
选项A（$p^2$）：分子$p^2 = p · p$，与分母公因式为$p$，不是最简分式。
选项B（$p + 1$）：分子与分母公因式为$p + 1$，不是最简分式。
选项C（$p - 1$）：分子与分母公因式为$p - 1$，不是最简分式。
选项D（$p^2 + 1$）：分子$p^2 + 1$与分母因式$p$、$p + 1$、$p - 1$均无公因式，是最简分式。

7. 化简下列分式：
(1)$\frac{-35a^{4}b^{3}c}{21a^{2}b^{4}}$；
(2)$\frac{m^{2}-16}{3m - 12}$；

(3)$\frac{b^{3}+ab^{2}}{a^{3}+a^{2}b}$；
(4)$\frac{x^{2}-16}{x^{2}-8x + 16}$。

(1) $\frac{-35a^{4}b^{3}c}{21a^{2}b^{4}}=-\frac{5a^{2}c}{3b}$
(2) $\frac{m^{2}-16}{3m - 12}=\frac{(m+4)(m-4)}{3(m-4)}=\frac{m+4}{3}$
(3) $\frac{b^{3}+ab^{2}}{a^{3}+a^{2}b}=\frac{b^{2}(b+a)}{a^{2}(a+b)}=\frac{b^{2}}{a^{2}}$
(4) $\frac{x^{2}-16}{x^{2}-8x + 16}=\frac{(x+4)(x-4)}{(x-4)^{2}}=\frac{x+4}{x-4}$

8. 若$a - b=-5ab$，则分式$\frac{2b + 3ab - 2a}{a - 2ab - b}$的值为()。

A.$\frac{13}{5}$
B.$-\frac{3}{5}$
C.$-\frac{13}{7}$
D.$\frac{13}{7}$

C

由$a - b = -5ab$，对分子分母变形：
分子：$2b + 3ab - 2a = -2(a - b) + 3ab = -2(-5ab) + 3ab = 10ab + 3ab = 13ab$；
分母：$a - 2ab - b = (a - b) - 2ab = -5ab - 2ab = -7ab$；
则分式值为$\frac{13ab}{-7ab} = -\frac{13}{7}$。

9. 【数学应用】如图所示的是一款双层长方形置物架，已知上层置物架底面的长和宽分别为$m$和$n$，下层置物架底面的长和宽分别为$2m$和$n^{2}$。若设$k=\frac{上层置物架的底面面积}{下层置物架的底面面积}$，则化简$k$的结果为。

上层置物架底面面积为长乘宽，即$m × n = mn$。
下层置物架底面面积为$2m × n^2 = 2mn^2$。
则$k = \frac{上层面积}{下层面积} = \frac{mn}{2mn^2}$。
分子分母同时约去公因式$mn$（$m≠0$，$n≠0$），可得$k = \frac{1}{2n}$。
$\frac{1}{2n}$