一般地，形如的函数，叫作一次函数. 特别地，当时，它是正比例函数.

$y = kx + b(k,b$为常数，$k≠0)$；$b = 0$

根据一次函数的定义，一般地，形如$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）的函数，叫做一次函数。特别地，当$b = 0$时，函数就变为$y = kx$，此时它是正比例函数。

思考 ①如何判断一个函数是一次函数？②正比例函数与一次函数有何关系？

①判断一个函数是一次函数的方法：
一次函数的一般形式为$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）。
若一个函数的表达式能化成上述形式，且满足$k≠0$，则这个函数是一次函数。
②正比例函数与一次函数的关系：
当一次函数$y = k x + b$（$k$，$b$为常数，$k ≠ 0$）中的$b = 0$时，一次函数$y = kx+b$就变为$y = kx$（$k$为常数，$k≠0$），此时$y$叫做$x$的正比例函数，所以正比例函数是一次函数$y = kx + b$当$b = 0$时的特殊情况。

选择 有下列函数：①$y = 3x$；②$y = 8x - 6$；③$y = \frac{1}{x}$；④$y = \frac{1}{2} - 8x$. 其中一次函数有()

A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个

B

一次函数的一般形式为$y = kx + b$，其中$k$，$b$为常数，$k≠ 0$，当$b = 0$时为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
①$y = 3x$，符合$y = kx(k = 3≠0)$，是正比例函数，属于一次函数。
②$y = 8x - 6$，符合$y = kx + b(k = 8≠0,b = - 6)$，是一次函数。
③$y=\frac{1}{x}$，自变量$x$在分母位置，不符合一次函数形式，不是一次函数。
④$y = \frac{1}{2}-8x$，即$y=-8x+\frac{1}{2}$，符合$y = kx + b(k = - 8≠0,b=\frac{1}{2})$，是一次函数。
所以①②④是一次函数，共$3$个。

例 1 已知函数$y = (m - 10)x + 1 - 2m$，根据下列要求求$m$的值或者取值范围.
(1)$y$是$x$的一次函数；
(2)$y$是$x$的正比例函数.

(1)
根据一次函数的定义，函数 $y = (m - 10)x + 1 - 2m$ 是一次函数当且仅当其一次项系数 $m - 10$ 不等于0。
即：$m - 10 ≠ 0$，
解得：$m ≠ 10$。
(2)
根据正比例函数的定义，函数 $y = (m - 10)x + 1 - 2m$ 是正比例函数当且仅当其一次项系数 $m - 10$ 不等于0，且常数项 $1 - 2m$ 等于0。
即需要满足以下两个条件：
$m - 10 ≠ 0$，
$1 - 2m = 0$，
由第二个条件 $1 - 2m = 0$，解得 $m = \frac{1}{2}$，
将 $m = \frac{1}{2}$ 代入第一个条件，满足 $m - 10 ≠ 0$，
所以，当 $m = \frac{1}{2}$ 时，函数 $y = (m - 10)x + 1 - 2m$ 是正比例函数。

变式训练 已知函数$y = (m + 2)x^{m^{2} - 3} + (m - 4)$.
(1)当$m$是何值时，它是一次函数？
(2)当函数是一次函数时，写出函数解析式，并计算当$x = 1$时的函数值；
(3)若点$A(n,6)$在该一次函数的图象上，则$n$的值为多少？

【解析】：(1)要使函数为一次函数，需满足自变量次数为1且系数不为0，即$m^2 - 3 = 1$且$m + 2 ≠ 0$。由$m^2 - 3 = 1$得$m^2 = 4$，$m = \pm 2$；又$m + 2 ≠ 0$，故$m ≠ -2$，所以$m = 2$。
(2)当$m = 2$时，函数解析式为$y = (2 + 2)x^{4 - 3} + (2 - 4) = 4x - 2$；当$x = 1$时，$y = 4×1 - 2 = 2$。
(3)点$A(n,6)$在图象上，代入得$4n - 2 = 6$，解得$n = 2$。
【答案】：(1)$m = 2$；(2)函数解析式为$y = 4x - 2$，函数值为2；(3)$n = 2$

(1)要使函数为一次函数，需满足自变量次数为1且系数不为0，即$m^2 - 3 = 1$且$m + 2 ≠ 0$。由$m^2 - 3 = 1$得$m^2 = 4$，$m = \pm 2$；又$m + 2 ≠ 0$，故$m ≠ -2$，所以$m = 2$。
(2)当$m = 2$时，函数解析式为$y = (2 + 2)x^{4 - 3} + (2 - 4) = 4x - 2$；当$x = 1$时，$y = 4×1 - 2 = 2$。
(3)点$A(n,6)$在图象上，代入得$4n - 2 = 6$，解得$n = 2$。

例 2 学校阅览室有一种能坐 4 人的方桌，如果多于 4 人，就把方桌按图中的方式摆放，2 张方桌摆放到一起能坐 6 人，请你结合这个规律，填写表格并回答问题：

(1)写出$y$与$x$之间的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)，并判断$y$是不是$x$的一次函数；
(2)若八年级(1)班有 42 人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌？
名师导引 求函数解析式与列方程的思路相同，都是要找到两个量之间的等量关系，只是书写格式不同.

表格填写
| 摆放的方桌数(x) | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
|------------------|---|---|---|---|-----|
| 人数(y) | 4 | 6 | 8 | 10| ... |
(1)函数解析式及判断
由表格数据可知：
当 $ x=1 $ 时，$ y=4=2×1+2 $；
当 $ x=2 $ 时，$ y=6=2×2+2 $；
当 $ x=3 $ 时，$ y=8=2×3+2 $；
当 $ x=4 $ 时，$ y=10=2×4+2 $。
故函数解析式为 $ y=2x+2 $。
因为 $ y=2x+2 $ 符合一次函数 $ y=kx+b $（$ k≠0 $）的形式，所以 $ y $ 是 $ x $ 的一次函数。
(2)所需方桌数量
当 $ y=42 $ 时，代入 $ y=2x+2 $ 得：
$ 42=2x+2 $
解得 $ x=20 $。
答案：(1) $ y=2x+2 $，是一次函数；(2) 20 张。

表格填写
| 摆放的方桌数(x) | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
|------------------|---|---|---|---|-----|
| 人数(y) | 4 | 6 | 8 | 10| ... |
(1)函数解析式及判断
由表格数据可知：
当 $ x=1 $ 时，$ y=4=2×1+2 $；
当 $ x=2 $ 时，$ y=6=2×2+2 $；
当 $ x=3 $ 时，$ y=8=2×3+2 $；
当 $ x=4 $ 时，$ y=10=2×4+2 $。
故函数解析式为 $ y=2x+2 $。
因为 $ y=2x+2 $ 符合一次函数 $ y=kx+b $（$ k≠0 $）的形式，所以 $ y $ 是 $ x $ 的一次函数。
(2)所需方桌数量
当 $ y=42 $ 时，代入 $ y=2x+2 $ 得：
$ 42=2x+2 $
解得 $ x=20 $。