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6. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$BE$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AD$ 于点 $E$，$CF$ 平分 $∠ BCD$ 交 $AD$ 于点 $F$.
(1) 求证：$AF = DE$；
(2) 若 $AD = 12$，$AB = 7$，求 $EF$ 的长；
(3) $BE$，$CF$ 交于点 $O$，在满足(2)的条件下，已知 $OF = 1$，求 $OE$ 的长.
(1) 求证：$AF = DE$；
(2) 若 $AD = 12$，$AB = 7$，求 $EF$ 的长；
(3) $BE$，$CF$ 交于点 $O$，在满足(2)的条件下，已知 $OF = 1$，求 $OE$ 的长.
答案
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC。
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB。
同理，CF平分∠BCD，∠DCF=∠FCB，AD//BC得∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DF=CD。
∵AB=CD，
∴AE=DF，
∴AE-EF=DF-EF，即AF=DE。
(2) 解：由(1)知AE=AB=7，DF=CD=AB=7。
∵AD=AE+DF-EF，
∴12=7+7-EF，解得EF=2。
(3) 解：
∵AD//BC，
∴△EFO∽△BCO，相似比EF/BC=2/12=1/6，
∴OF/OC=OE/OB=1/6。
∵∠ABC+∠BCD=180°，BE、CF为角平分线，
∴∠EBC+∠FCB=90°，
∴∠BOC=90°，则∠FOE=90°。
在Rt△EFO中，EF=2，OF=1，
∴OE=√(EF²-OF²)=√(2²-1²)=√3。
答案：(1) 见证明；(2) 2；(3) √3。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC。
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB。
同理，CF平分∠BCD，∠DCF=∠FCB，AD//BC得∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DF=CD。
∵AB=CD，
∴AE=DF，
∴AE-EF=DF-EF，即AF=DE。
(2) 解：由(1)知AE=AB=7，DF=CD=AB=7。
∵AD=AE+DF-EF，
∴12=7+7-EF，解得EF=2。
(3) 解：
∵AD//BC，
∴△EFO∽△BCO，相似比EF/BC=2/12=1/6，
∴OF/OC=OE/OB=1/6。
∵∠ABC+∠BCD=180°，BE、CF为角平分线，
∴∠EBC+∠FCB=90°，
∴∠BOC=90°，则∠FOE=90°。
在Rt△EFO中，EF=2，OF=1，
∴OE=√(EF²-OF²)=√(2²-1²)=√3。
答案：(1) 见证明；(2) 2；(3) √3。
解析
(1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB=CD。
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC。
∵AD//BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB。
同理，CF平分∠BCD，∠DCF=∠FCB，AD//BC得∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠DFC，∴DF=CD。
∵AB=CD，∴AE=DF，∴AE-EF=DF-EF，即AF=DE。
(2) 解：由(1)知AE=AB=7，DF=CD=AB=7。
∵AD=AE+DF-EF，∴12=7+7-EF，解得EF=2。
(3) 解：∵AD//BC，∴△EFO∽△BCO，相似比EF/BC=2/12=1/6，∴OF/OC=OE/OB=1/6。
∵∠ABC+∠BCD=180°，BE、CF为角平分线，∴∠EBC+∠FCB=90°，∴∠BOC=90°，则∠FOE=90°。
在Rt△EFO中，EF=2，OF=1，∴OE=√(EF²-OF²)=√(2²-1²)=√3。
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC。
∵AD//BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB。
同理，CF平分∠BCD，∠DCF=∠FCB，AD//BC得∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠DFC，∴DF=CD。
∵AB=CD，∴AE=DF，∴AE-EF=DF-EF，即AF=DE。
(2) 解：由(1)知AE=AB=7，DF=CD=AB=7。
∵AD=AE+DF-EF，∴12=7+7-EF，解得EF=2。
(3) 解：∵AD//BC，∴△EFO∽△BCO，相似比EF/BC=2/12=1/6，∴OF/OC=OE/OB=1/6。
∵∠ABC+∠BCD=180°，BE、CF为角平分线，∴∠EBC+∠FCB=90°，∴∠BOC=90°，则∠FOE=90°。
在Rt△EFO中，EF=2，OF=1，∴OE=√(EF²-OF²)=√(2²-1²)=√3。
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的.
思考 两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
思考 两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
答案
距离
解析
根据平行线之间距离的定义，两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离。
联系：点与点之间的距离是基础，点到直线的距离是点与直线上所有点的距离中最短的，而两条平行线之间的距离可以看作是其中一条直线上的点到另一条直线的距离，且这个距离处处相等。
区别：点与点之间的距离是连接两点的线段的长度；点到直线的距离是从点向直线作垂线，垂线段的长度；两条平行线之间的距离是两条平行线间垂线段的长度，且任意一条垂线段的长度都相等。
联系：点与点之间的距离是基础，点到直线的距离是点与直线上所有点的距离中最短的，而两条平行线之间的距离可以看作是其中一条直线上的点到另一条直线的距离，且这个距离处处相等。
区别：点与点之间的距离是连接两点的线段的长度；点到直线的距离是从点向直线作垂线，垂线段的长度；两条平行线之间的距离是两条平行线间垂线段的长度，且任意一条垂线段的长度都相等。
填空 如图，若直线 $ m // n $，则图中线段的长可以表示平行线 $ m $ 与 $ n $ 之间的距离.
答案
AC
解析
因为直线$m // n$，两条平行线间的距离是指从一条平行线上的任意一点向另一条平行线作垂线，垂线段的长度。图中$AC$垂直于直线$n$，且$A$在直线$m$上，$C$在直线$n$上，所以$AC$是垂线段，其长可表示平行线$m$与$n$之间的距离。
探究 平行线间距离的应用
例 如图，在梯形 $ ABCD $ 中，$ AB // CD $，$ ∠ A = ∠ B = 60^{\circ} $，$ AB = 2CD = 10 \mathrm{ cm} $.
（1）求证：$ AD = BC $；
（2）求 $ AB $ 与 $ CD $ 间的距离.
例 如图，在梯形 $ ABCD $ 中，$ AB // CD $，$ ∠ A = ∠ B = 60^{\circ} $，$ AB = 2CD = 10 \mathrm{ cm} $.
（1）求证：$ AD = BC $；
（2）求 $ AB $ 与 $ CD $ 间的距离.
答案
（1）证明：过点D作DE//BC交AB于点E。
∵AB//CD，DE//BC，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∴BC=DE，CD=BE。
∵AB=10cm，CD=5cm，
∴BE=5cm，
∴AE=AB-BE=10-5=5cm。
∵∠B=60°，DE//BC，
∴∠DEA=∠B=60°。
又∵∠A=60°，
∴△ADE中，∠A=∠DEA=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
又∵DE=BC，
∴AD=BC。
（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，则DF为AB与CD间的距离。
由（1）知△ADE是等边三角形，AD=AE=5cm。
在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴∠ADF=30°，
∴AF=AD/2=5/2 cm。
由勾股定理得：DF=√(AD² - AF²)=√(5² - (5/2)²)=√(25 - 25/4)=√(75/4)= (5√3)/2 cm。
即AB与CD间的距离为(5√3)/2 cm。
∵AB//CD，DE//BC，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∴BC=DE，CD=BE。
∵AB=10cm，CD=5cm，
∴BE=5cm，
∴AE=AB-BE=10-5=5cm。
∵∠B=60°，DE//BC，
∴∠DEA=∠B=60°。
又∵∠A=60°，
∴△ADE中，∠A=∠DEA=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
又∵DE=BC，
∴AD=BC。
（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，则DF为AB与CD间的距离。
由（1）知△ADE是等边三角形，AD=AE=5cm。
在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴∠ADF=30°，
∴AF=AD/2=5/2 cm。
由勾股定理得：DF=√(AD² - AF²)=√(5² - (5/2)²)=√(25 - 25/4)=√(75/4)= (5√3)/2 cm。
即AB与CD间的距离为(5√3)/2 cm。
变式训练 如图，一把带有 $ 60^{\circ} $ 角的三角尺放在两条平行线间，量得平行线间的距离为 $ 12 \mathrm{ cm} $，三角尺最短边和平行线成 $ 45^{\circ} $ 角，则三角尺斜边的长度为$ \mathrm{cm} $.
答案
【解析】：设三角尺为含30°、60°、90°的直角三角形，最短边（30°角对边）为$a$，斜边为$c$，则$c = 2a$。
平行线间距离为12cm，即最短边在垂直平行线方向的投影为12cm。最短边与平行线成45°角，由三角函数得：$a · \sin45° = 12$，$\sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$a = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12\sqrt{2}$。
故斜边$c = 2a = 2 × 12\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$。
【答案】：$24\sqrt{2}$
平行线间距离为12cm，即最短边在垂直平行线方向的投影为12cm。最短边与平行线成45°角，由三角函数得：$a · \sin45° = 12$，$\sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$a = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12\sqrt{2}$。
故斜边$c = 2a = 2 × 12\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$。
【答案】：$24\sqrt{2}$
解析
设三角尺为含30°、60°、90°的直角三角形，最短边（30°角对边）为$a$，斜边为$c$，则$c = 2a$。
平行线间距离为12cm，即最短边在垂直平行线方向的投影为12cm。最短边与平行线成45°角，由三角函数得：$a · \sin45° = 12$，$\sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$a = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12\sqrt{2}$。
故斜边$c = 2a = 2 × 12\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$。
平行线间距离为12cm，即最短边在垂直平行线方向的投影为12cm。最短边与平行线成45°角，由三角函数得：$a · \sin45° = 12$，$\sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$a = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12\sqrt{2}$。
故斜边$c = 2a = 2 × 12\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$。
1. 如图，$ l_{1} // l_{2} $，$ AB // CD $，$ CE ⊥ l_{1} $，$ FG ⊥ l_{2} $，$ C $，$ G $ 为垂足，下列说法中错误的是()
A.$ CD ＞ CE $
B.$ A $，$ B $ 两点间的距离就是线段 $ AB $ 的长
C.$ CE = FG $
D.$ l_{1} $，$ l_{2} $ 间的距离就是线段 $ CD $ 的长
A.$ CD ＞ CE $
B.$ A $，$ B $ 两点间的距离就是线段 $ AB $ 的长
C.$ CE = FG $
D.$ l_{1} $，$ l_{2} $ 间的距离就是线段 $ CD $ 的长
答案
D
解析
∵l₁//l₂，CE⊥l₁，∴CE为l₁与l₂间的垂线段，长度为两平行线距离。CD是夹在l₁、l₂间的斜线段，由垂线段最短知CD＞CE，A正确；两点间距离定义为连接两点的线段长，B正确；FG⊥l₂，F在l₁上，FG也是l₁、l₂间垂线段，平行线间距离相等，故CE=FG，C正确；l₁、l₂间距离是垂线段长，CD不一定垂直，D错误。
