2. 如图，已知直线 $ a // b $，且 $ a $ 与 $ b $ 之间的距离为 $ 4 $，点 $ A $ 到直线 $ a $ 的距离为 $ 2 $，点 $ B $ 到直线 $ b $ 的距离为 $ 3 $，$ AB = 2\sqrt{30} $.试在直线 $ a $ 上找一点 $ M $，在直线 $ b $ 上找一点 $ N $，满足 $ MN ⊥ a $ 且 $ AM + MN + NB $ 的长度和最短，则此时 $ AM + NB = $()


A.$ 6 $
B.$ 8 $
C.$ 10 $
D.$ 12 $

B

设直线$a$为$y=0$，直线$b$为$y=4$（$a// b$，距离为4）。点$A$到$a$距离为2，故$A(x_1,-2)$（在$a$下方）；点$B$到$b$距离为3，故$B(x_2,7)$（在$b$上方）。$MN⊥ a$，则$M(m,0)$，$N(m,4)$，$MN=4$（定值）。将$B$向下平移4个单位得$B'(x_2,3)$，则$NB=MB'$（平行四边形对边相等）。$AM + NB = AM + MB'$，当$M$为$AB'$与$a$的交点时，$AM + MB'$最小，即$AB'$长。$AB=2\sqrt{30}$，则$(x_1 - x_2)^2 + (7 + 2)^2 = 120$，得$(x_1 - x_2)^2=39$。$AB'=\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (-2 - 3)^2}=\sqrt{39 + 25}=8$，故$AM + NB=8$。

3. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，过点 $ A $ 分别作 $ BC $，$ CD $ 的垂线段，垂足为 $ E $，$ F $，若 $ AD = 4 $，$ AE = 4 $，$ CD = 5 $，则线段 $ AF $ 的长为.

$\frac{16}{5}$

在平行四边形 $ABCD$ 中，$BC = AD = 4$，$CD = AB = 5$。
平行四边形面积 $S = BC × AE = CD × AF$。
已知 $BC = 4$，$AE = 4$，$CD = 5$，则 $S = 4 × 4 = 16$。
所以 $5 × AF = 16$，解得 $AF = \frac{16}{5}$。

4. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ABC = 90^{\circ} $，$ AB = BC $，三角形的顶点分别在相互平行的三条直线 $ l_{1} $，$ l_{2} $，$ l_{3} $ 上，且 $ l_{1} $，$ l_{2} $ 之间的距离为 $ 2 $，$ l_{2} $，$ l_{3} $ 之间的距离为 $ 3 $，则 $ AC $ 的值为.

√26

过点A作AD⊥l₂于D，过点C作CE⊥l₂于E。∵l₁//l₂//l₃，∠ABC=90°，∴∠ADB=∠BEC=90°，∠BAD=∠CBE。又AB=BC，∴△ABD≌△BCE（AAS）。∴AD=BE=2，BD=CE=3。设B在l₂上，D、E为垂足，D、E在B同侧，DE=|BD-BE|=1。A到C的垂直距离为2+3=5，水平距离为DE=1。∴AC=√(1²+5²)=√26。

5. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ AE ⊥ BC $ 于点 $ E $，$ AF ⊥ CD $ 于点 $ F $，$ ∠ B = 60^{\circ} $，$ AF = 4\sqrt{3} $，$ □ ABCD $ 的周长为 $ 28 $，求 $ □ ABCD $ 的面积.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=60°。
∵□ABCD周长为28，∴2(AB+BC)=28，即AB+BC=14。
在Rt△AFD中，∠D=60°，AF⊥CD，
∴AF=AD·sin60°，即4√3=BC·(√3/2)，
解得BC=8。
∵AB+BC=14，∴AB=14-8=6。
□ABCD面积=CD·AF=AB·AF=6×4√3=24√3。
答：□ABCD的面积为24√3。

6. 小夏同学是个数学迷，他对数学思想中的“证明”饶有兴趣！最近，他证明了平行线的性质：平行线间距离处处相等，并尝试用该性质解决问题：
（1）如图 $ 1 $，已知梯形 $ ABCD $，$ AD // BC $，$ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，求证：$ S_{△ AOB} = S_{△ COD} $.请你帮小夏完成证明.
（2）小夏发现爷爷门前的两块田地刚好拼成图 $ 2 $ 所示的长方形 $ DEFG $，$ AB $，$ BC $ 是田地甲、乙之间的小路.爷爷准备在不改变甲田、乙田面积的情况下将小路改成直线.请你帮助小夏设计方案，并画出相应的图形.

（1）证明：∵AD//BC，∴△ABC与△DBC同底BC，等高。∴$S_{△ABC}=S_{△DBC}$。∵$S_{△ABC}-S_{△BOC}=S_{△DBC}-S_{△BOC}$，∴$S_{△AOB}=S_{△COD}$。
（2）连接AC，直线AC即为所求小路。（图形：在长方形DEFG中，连接A、C两点，AC为直线段）