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变式训练 如图，在 $□ABCD$ 中，$AB = 10cm$，$BC = 15cm$，$AC$，$BD$ 相交于点 $O$. $OE⊥BD$ 交 $AD$ 于点 $E$，求 $△ ABE$ 的周长.
答案
【解析】：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=15cm，OB=OD（平行四边形对边相等，对角线互相平分）。
∵OE⊥BD，
∴OE垂直平分BD，
∴EB=ED（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+ED=AB+AD=10+15=25cm。
【答案】：25cm
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=15cm，OB=OD（平行四边形对边相等，对角线互相平分）。
∵OE⊥BD，
∴OE垂直平分BD，
∴EB=ED（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+ED=AB+AD=10+15=25cm。
【答案】：25cm
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=15cm，OB=OD（平行四边形对边相等，对角线互相平分）。∵OE⊥BD，∴OE垂直平分BD，∴EB=ED（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+ED=AB+AD=10+15=25cm。
例 2 如图，在 $□ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在 $AD$，$BC$ 上，且 $AE = CF$，$EF$，$BD$ 相交于点 $O$，求证：$OE = OF$.
答案
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$，
∴$∠EDO=∠FBO$，$∠DEO=∠BFO$。
∵$AE=CF$，
∴$AD - AE = BC - CF$，即$DE=BF$。
在$△ DOE$和$△ BOF$中，
$\begin{cases}∠DEO=∠BFO, \\∠EDO=∠FBO, \\DE=BF,\end{cases}$
∴$△ DOE≌△ BOF(AAS)$，
∴$OE=OF$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$，
∴$∠EDO=∠FBO$，$∠DEO=∠BFO$。
∵$AE=CF$，
∴$AD - AE = BC - CF$，即$DE=BF$。
在$△ DOE$和$△ BOF$中，
$\begin{cases}∠DEO=∠BFO, \\∠EDO=∠FBO, \\DE=BF,\end{cases}$
∴$△ DOE≌△ BOF(AAS)$，
∴$OE=OF$。
变式训练 如图，在 $□ABCD$ 的边 $AB$，$CD$ 上截取线段 $AF$，$CE$，使 $AF = CE$，连接 $EF$，$M$，$N$ 是线段 $EF$ 上的点，且 $EM = FN$，连接 $AN$，$CM$. 求证：$AN// CM$.
答案
【解析】：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
∵AF=CE，
∴AB-AF=CD-CE，即BF=DE。
又
∵AB//CD，
∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴BE//DF，即AE//CF。
∵EM=FN，
∴EM+MN=FN+MN，即EN=FM。
在△ANE和△CMF中，
AE=CF（由AB=CD，AF=CE得AE=AB-BF=CD-DE=CF），
∠AEN=∠CFM（AE//CF，内错角相等），
EN=FM，
∴△ANE≌△CMF（SAS），
∴∠ANE=∠CMF，
∴AN//CM（内错角相等，两直线平行）。
【答案】：AN//CM
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
∵AF=CE，
∴AB-AF=CD-CE，即BF=DE。
又
∵AB//CD，
∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴BE//DF，即AE//CF。
∵EM=FN，
∴EM+MN=FN+MN，即EN=FM。
在△ANE和△CMF中，
AE=CF（由AB=CD，AF=CE得AE=AB-BF=CD-DE=CF），
∠AEN=∠CFM（AE//CF，内错角相等），
EN=FM，
∴△ANE≌△CMF（SAS），
∴∠ANE=∠CMF，
∴AN//CM（内错角相等，两直线平行）。
【答案】：AN//CM
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
∵AF=CE，
∴AB-AF=CD-CE，即BF=DE。
又∵AB//CD，
∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴BE//DF，即AE//CF。
∵EM=FN，
∴EM+MN=FN+MN，即EN=FM。
在△ANE和△CMF中，
AE=CF（由AB=CD，AF=CE得AE=AB-BF=CD-DE=CF），
∠AEN=∠CFM（AE//CF，内错角相等），
EN=FM，
∴△ANE≌△CMF（SAS），
∴∠ANE=∠CMF，
∴AN//CM（内错角相等，两直线平行）。
1. 如图，在 $□ABCD$ 中，下列结论不一定成立的是()
A.$∠ 1 = ∠ 2$
B.$AD = DC$
C.$∠ ADC = ∠ CBA$
D.$OA = OC$
A.$∠ 1 = ∠ 2$
B.$AD = DC$
C.$∠ ADC = ∠ CBA$
D.$OA = OC$
答案
B
解析
在平行四边形ABCD中，AD//BC，所以∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），A成立；平行四边形对边相等，即AD=BC，AB=DC，AD不一定等于DC，B不一定成立；平行四边形对角相等，即∠ADC=∠CBA，C成立；平行四边形对角线互相平分，即OA=OC，D成立。
2. 图 1 所示是某教学楼的楼梯扶手侧面图，将扶手最上方的形状抽象成图 2 所示的平行四边形 $ABCD$，其中 $∠ B + ∠ D = 120^{\circ}$，则 $∠ A$ 的度数为()
A.$60^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$120^{\circ}$
A.$60^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$120^{\circ}$
答案
D
解析
在平行四边形ABCD中，∠B=∠D（平行四边形对角相等）。因为∠B+∠D=120°，所以∠B=∠D=60°。又因为AD//BC（平行四边形对边平行），所以∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补），则∠A=180°-∠B=180°-60°=120°。
3. 如图，$AC$ 是 $□ABCD$ 的对角线，点 $E$ 在 $AC$ 上，$AD = AE = BE$，$∠ D = 102^{\circ}$，则 $∠ BAC$ 的大小是.
答案
26°
解析
在□ABCD中，∠D=102°，则∠DAB=180°-∠D=78°（平行四边形邻角互补）。设∠BAC=x，则∠DAC=78°-x。
∵AD=AE，∴△ADE为等腰三角形，∠AED=(180°-∠DAC)/2=(102°+x)/2。
∵AE=BE，∴△ABE为等腰三角形，∠EBA=∠BAC=x，∠AEB=180°-2x。
∵AD=BC（平行四边形对边相等），AD=AE，∴AE=BC，又AE=BE，故BE=BC，△BEC为等腰三角形，∠BCE=∠BEC。
∵AD//BC，∴∠DAC=∠BCE=78°-x（内错角相等），则∠BEC=78°-x。
∠ABC=∠D=102°（平行四边形对角相等），∠EBC=∠ABC-∠EBA=102°-x。
在△BEC中，∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，即(102°-x)+2(78°-x)=180°，解得x=26°。
∵AD=AE，∴△ADE为等腰三角形，∠AED=(180°-∠DAC)/2=(102°+x)/2。
∵AE=BE，∴△ABE为等腰三角形，∠EBA=∠BAC=x，∠AEB=180°-2x。
∵AD=BC（平行四边形对边相等），AD=AE，∴AE=BC，又AE=BE，故BE=BC，△BEC为等腰三角形，∠BCE=∠BEC。
∵AD//BC，∴∠DAC=∠BCE=78°-x（内错角相等），则∠BEC=78°-x。
∠ABC=∠D=102°（平行四边形对角相等），∠EBC=∠ABC-∠EBA=102°-x。
在△BEC中，∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，即(102°-x)+2(78°-x)=180°，解得x=26°。
4. 如图，将 $□ABCD$ 折叠，使顶点 $D$ 恰好落在 $AB$ 边上的点 $M$ 处，折痕为 $AN$. 有下列结论：① $MN// BC$；② $MN = AM$；③ $AN = AM$. 其中正确的是(填序号).
答案
①②
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∠D=∠B，AB//CD。
由折叠性质得：△ADN≌△AMN，∴AD=AM，DN=MN，∠D=∠AMN，∠DAN=∠MAN=α，∠AND=∠ANM。
∵AB//CD，∴∠DAN=∠AND（内错角相等），即∠AND=α，∴∠ANM=α=∠MAN，∴MN=AM（等角对等边），故②正确。
∵∠AMN=∠D=∠B，∴MN//BC（同位角相等，两直线平行），故①正确。
AN为△AMN的边，在△AMN中，AN＞AM（三角形两边之和大于第三边或由角度关系可知），故③错误。
由折叠性质得：△ADN≌△AMN，∴AD=AM，DN=MN，∠D=∠AMN，∠DAN=∠MAN=α，∠AND=∠ANM。
∵AB//CD，∴∠DAN=∠AND（内错角相等），即∠AND=α，∴∠ANM=α=∠MAN，∴MN=AM（等角对等边），故②正确。
∵∠AMN=∠D=∠B，∴MN//BC（同位角相等，两直线平行），故①正确。
AN为△AMN的边，在△AMN中，AN＞AM（三角形两边之和大于第三边或由角度关系可知），故③错误。
5. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，延长 $AB$ 至点 $E$，延长 $CD$ 至点 $F$，使得 $BE = DF$，连接 $EF$，与对角线 $AC$ 交于点 $O$. 求证：$OE = OF$.
答案
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$，
∴$∠ E=∠ F$，$∠ OAE=∠ OCF$。
∵$BE=DF$，
∴$AB+BE=CD+DF$，即$AE=CF$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases} ∠ E=∠ F, \\AE=CF, \\∠ OAE=∠ OCF, \end{cases}$
∴$△ AOE≌△ COF(ASA)$，
∴$OE=OF$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$，
∴$∠ E=∠ F$，$∠ OAE=∠ OCF$。
∵$BE=DF$，
∴$AB+BE=CD+DF$，即$AE=CF$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases} ∠ E=∠ F, \\AE=CF, \\∠ OAE=∠ OCF, \end{cases}$
∴$△ AOE≌△ COF(ASA)$，
∴$OE=OF$。
