填空：
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧

①$\sqrt{a}$ ②$0$ ③$a$ ④$a$ ⑤$\sqrt{ab}$ ⑥$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ⑦化为最简二次根式 ⑧合并

1. (★)若二次根式$\sqrt{16 - a}$有意义，则$a$的最大值是 【 】

A.$16$
B.$4$
C.$8$
D.$0$

A

根据二次根式的定义，被开方数须非负，即$16 - a ≥ 0$，解不等式可得$a ≤ 16$，因此$a$的最大值为$16$。

2. (★)下列二次根式是最简二次根式的是 【 】

A.$\sqrt{ab^{2}}$
B.$\sqrt{a + b^{2}}$
C.$\sqrt{\dfrac{b}{a}}$
D.$\sqrt{a^{2} + 2ab + b^{2}}$

B

最简二次根式需满足两个条件：1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2.被开方数的因数是整数，因式是整式。
-选项A：$\sqrt{ab^{2}=|b|\sqrt{a}}$，被开方数含能开得尽方的因式$b^2$，不是最简二次根式。
-选项B：$\sqrt{a + b^{2}}$，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且是整式，是最简二次根式。
-选项C：$\sqrt{\dfrac{b}{a}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。
-选项D：$\sqrt{a^{2} + 2ab + b^{2}}=\sqrt{(a + b)^2}=\vert a + b\vert$，被开方数含能开得尽方的因式$(a + b)^2$，不是最简二次根式。

3. (★)有下列式子：$\sqrt{3}$，$\sqrt[3]{4}$，$\sqrt{-5}$，$\sqrt{\dfrac{a}{3}}(a ≥ 0)$，$\sqrt{x + y}(x ≥ 0,y ≥ 0)$，$\sqrt{x^{2} + 4x + 4}$，其中二次根式有个.

4

根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}(a≥0)$的式子叫做二次根式。
$\sqrt{3}$：被开方数$3≥0$，是二次根式。
$\sqrt[3]{4}$：根指数是3，不是二次根式。
$\sqrt{-5}$：被开方数$-5＜0$，不是二次根式。
$\sqrt{\dfrac{a}{3}}(a≥0)$：被开方数$\dfrac{a}{3}≥0$，是二次根式。
$\sqrt{x + y}(x≥0,y≥0)$：被开方数$x + y≥0$，是二次根式。
$\sqrt{x^{2} + 4x + 4}=\sqrt{(x + 2)^{2}}$，被开方数$(x + 2)^{2}≥0$，是二次根式。
综上，二次根式有$\sqrt{3}$，$\sqrt{\dfrac{a}{3}}(a≥0)$，$\sqrt{x + y}(x≥0,y≥0)$，$\sqrt{x^{2} + 4x + 4}$，共4个。

4. (★)若二次根式$\sqrt{3a + 5}$是最简二次根式，则最小的正整数$a =$.

2

最简二次根式满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数的因数是整数，因式是整式。
因此需要找到一个最小的正整数$a$使得$3a + 5$没有平方因数。
当$a=1$时，$3a + 5 = 3×1 + 5 = 8$，不是最简二次根式（因为$8=2^3$，包含平方因数$4$）；
当$a=2$时，$3a + 5 = 3×2 + 5 = 11$，11是质数，没有平方因数，满足条件。
所以最小的正整数$a$为2。

5. (★)填空：(1)$\sqrt{(1 - \sqrt{2})^{2}} =$；(2)$-\sqrt{(-9)^{2}} =$；(3)$(\sqrt{π - 3.14})^{2} =$.

(1) $\sqrt{2} - 1$
(2) $-9$
(3) $π - 3.14$

(1) 根据二次根式的性质，$\sqrt{a^{2}} = |a|$，
所以 $\sqrt{(1 - \sqrt{2})^{2}} = |1 - \sqrt{2}|$，
由于 $1 - \sqrt{2} ＜ 0$，所以 $|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1$。
(2) 根据二次根式的性质，$\sqrt{a^{2}} = |a|$，
所以 $-\sqrt{(-9)^{2}} = -| - 9| = -9$。
(3) 根据二次根式的性质，$(\sqrt{a})^{2} = a$（其中 $a ≥ 0$），
所以 $(\sqrt{π - 3.14})^{2} = π - 3.14$。

6. (★★)在数轴上表示实数$a$的点如图所示，化简$\sqrt{(a - 5)^{2}} + |a - 2|$的结果为.

3

由数轴可知$2 ＜ a ＜ 5$，则$a - 5 ＜ 0$，$a - 2 ＞ 0$。
$\sqrt{(a - 5)^2} = |a - 5| = 5 - a$，$|a - 2| = a - 2$。
原式$= (5 - a) + (a - 2) = 3$。

7. (★★)若$x = \sqrt{y - 3} - \sqrt{6 - 2y} + 2$，则$\sqrt{xy}$的值是.

$\sqrt{6}$

要使二次根式有意义，则被开方数非负，即$y - 3 ≥ 0$且$6 - 2y ≥ 0$。解$y - 3 ≥ 0$得$y ≥ 3$；解$6 - 2y ≥ 0$得$y ≤ 3$，所以$y = 3$。将$y = 3$代入$x = \sqrt{y - 3} - \sqrt{6 - 2y} + 2$，得$x = 0 - 0 + 2 = 2$。则$\sqrt{xy} = \sqrt{2×3} = \sqrt{6}$。

8. (★)下列各式计算结果不正确的是 【 】

A.$\sqrt{5}×\sqrt{7} = 2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{6}÷\sqrt{3} = \sqrt{2}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{10}}×\sqrt{8} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\sqrt{\dfrac{4}{7}}÷\sqrt{\dfrac{7}{4}} = \dfrac{4}{7}$

A

A. 根据二次根式的乘法法则，$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a × b}$，所以 $\sqrt{5} × \sqrt{7} = \sqrt{35}$，与 $2\sqrt{3}$ 不相等，所以 A 选项错误。
B. 根据二次根式的除法法则，$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$，所以 $\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{2}$，B 选项正确。
C. 根据二次根式的乘法法则，$\sqrt{\frac{1}{10}} × \sqrt{8} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，C 选项正确。
D. 根据二次根式的除法法则，$\sqrt{\frac{4}{7}} ÷ \sqrt{\frac{7}{4}} = \sqrt{\frac{4}{7} × \frac{4}{7}} = \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7}$，D 选项正确。