9. (★★)计算：
(1)$\sqrt{8}×(\sqrt{2} - \sqrt{\dfrac{1}{2}})$；
(2)$5÷\sqrt{5}×\dfrac{1}{\sqrt{5}}$；
(3)$(1 - \sqrt{5})(\sqrt{5} + 1) + (\sqrt{5} - 1)^{2}$；
(4)$(4\sqrt{6} - 4\sqrt{\dfrac{1}{2}} + 3\sqrt{8})÷2\sqrt{2}$.

(1) $\sqrt{8}×(\sqrt{2} - \sqrt{\dfrac{1}{2}})$
$=2\sqrt{2}×\sqrt{2} - 2\sqrt{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=2×2 - (2×\dfrac{1}{2})×(\sqrt{2}×\sqrt{2})$
$=4 - 1×2$
$=4 - 2$
$=2$
(2) $5÷\sqrt{5}×\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
$=\dfrac{5}{\sqrt{5}}×\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
$=\dfrac{5}{5}$
$=1$
(3) $(1 - \sqrt{5})(\sqrt{5} + 1) + (\sqrt{5} - 1)^{2}$
$=1^{2} - (\sqrt{5})^{2} + [(\sqrt{5})^{2} - 2×\sqrt{5}×1 + 1^{2}]$
$=1 - 5 + (5 - 2\sqrt{5} + 1)$
$=-4 + 6 - 2\sqrt{5}$
$=2 - 2\sqrt{5}$
(4) $(4\sqrt{6} - 4\sqrt{\dfrac{1}{2}} + 3\sqrt{8})÷2\sqrt{2}$
$=(4\sqrt{6} - 4×\dfrac{\sqrt{2}}{2} + 3×2\sqrt{2})÷2\sqrt{2}$
$=(4\sqrt{6} - 2\sqrt{2} + 6\sqrt{2})÷2\sqrt{2}$
$=(4\sqrt{6} + 4\sqrt{2})÷2\sqrt{2}$
$=4\sqrt{6}÷2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}÷2\sqrt{2}$
$=2\sqrt{3} + 2$

10. (★★)当$x = \sqrt{15} - 1$时，求代数式$x^{2} + 2x + 3$的值.

17

当$x = \sqrt{15} - 1$时，
$x + 1 = \sqrt{15}$，
两边平方得$(x + 1)^2 = (\sqrt{15})^2$，
即$x^2 + 2x + 1 = 15$，
所以$x^2 + 2x = 14$，
则$x^2 + 2x + 3 = 14 + 3 = 17$。

11. (★) 使式子 $\dfrac{\sqrt{1 - x}}{2 + x}$ 有意义的 $x$ 的取值范围是 【 】

A.$x ≤ 1$
B.$x ≤ 1$ 且 $x ≠ - 2$
C.$x ≠ - 2$
D.$x ＜ 1$ 且 $x ≠ - 2$

B

为使分式有意义，分母 $2 + x ≠ 0$，即 $x ≠ -2$。
为使二次根式有意义，被开方数需非负：$1 - x ≥ 0$，即 $x ≤ 1$。
综上，$x$需满足 $x ≤ 1$ 且 $x ≠ -2$。

12. (★) 下列二次根式是最简二次根式的是 【 】

A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{3a^{2}}$

C

最简二次根式需满足两个条件：1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2. 被开方数的因数是整数，因式是整式。
A. $\sqrt{4}=2$，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{\frac{1}{2}}$，被开方数含分母，可化简为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，不是最简二次根式；
C. $\sqrt{6}$，6的因数没有开得尽方的因数，是最简二次根式；
D. $\sqrt{3a^2}$，可化简为$|a|\sqrt{3}$，不是最简二次根式。

13. (★★) 若 $xy ＜ 0$，则 $\sqrt{x^{2}y}$ 化简后的结果是 【 】

A.$x\sqrt{y}$
B.$x\sqrt{- y}$
C.$- x\sqrt{- y}$
D.$- x\sqrt{y}$

D

由$\sqrt{x^{2}y}$有意义，得$x^{2}y≥0$，$\because x^{2}≥0$，$\therefore y≥0$；又$xy＜0$，$\therefore x＜0,y＞0$。$\sqrt{x^{2}y}=\sqrt{x^{2}}·\sqrt{y}=|x|\sqrt{y}=-x\sqrt{y}$。

14. (★★) 若 $\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{x}}$ 的值是一个整数，则正整数 $x(x ＞ 1)$ 的最小值是 【 】

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

D

根据题意，$\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{x}}$的值是一个整数，即$\sqrt{\dfrac{80}{x}}$为整数，那么$\dfrac{80}{x}$必须是一个完全平方数。
将80分解质因数，得$80=2^{4} × 5$。
为了使$\dfrac{80}{x}$为完全平方数，$x$必须包含$80$的所有非完全平方的质因数，且保证结果中剩余的质因数的指数均为偶数。
当前$80$的质因数中，$2$的指数已经是偶数，但$5$的指数是奇数，所以$x$至少要包含$5$，才能使得$\dfrac{80}{x}$中$5$的指数变为偶数（实际为0）。
同时，由于题目要求$x$为正整数且大于1，且要求最小值，所以$x$应取$5$。
此时，$\dfrac{80}{x} = 16$，是一个完全平方数，满足条件。

15. (★★) 在实数范围内分解因式：$4m^{2} - 7 =$.

$(2m - \sqrt{7})(2m + \sqrt{7})$

首先，可以将原式 $4m^2 - 7$视为$ (2m)^2 - (\sqrt{7})^2$，它符合平方差公式的形式$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，其中$a = 2m$且$b = \sqrt{7}$，代入可得：
$4m^2 - 7= (2m)^2 - (\sqrt{7})^2= (2m - \sqrt{7})(2m + \sqrt{7})$

16. (★★) 已知 $\sqrt{m + n - 2} + \sqrt{2m - n + 5} = 0$，求 $\dfrac{\sqrt{m^{2}}}{\sqrt{n}}$ 的值.

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

因为$\sqrt{m + n - 2} ≥ 0$，$\sqrt{2m - n + 5} ≥ 0$，且$\sqrt{m + n - 2} + \sqrt{2m - n + 5} = 0$，所以$\begin{cases}m + n - 2 = 0 \\ 2m - n + 5 = 0\end{cases}$。
解方程组：
由$m + n = 2$得$n = 2 - m$，代入$2m - n + 5 = 0$，得$2m - (2 - m) + 5 = 0$，$2m - 2 + m + 5 = 0$，$3m + 3 = 0$，$m = -1$。
将$m = -1$代入$n = 2 - m$，得$n = 2 - (-1) = 3$。
则$\dfrac{\sqrt{m^{2}}}{\sqrt{n}} = \dfrac{|m|}{\sqrt{n}} = \dfrac{|-1|}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$。