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一、选择题
1. 已知 $ a = \sin 60° $，$ b = \cos 45° $，$ c = \tan 30° $，则它们之间的大小关系是()
A. $ c ＜ b ＜ a $
B. $ b ＜ a ＜ c $
C. $ a ＜ c ＜ b $
D. $ b ＜ c ＜ a $
1. 已知 $ a = \sin 60° $，$ b = \cos 45° $，$ c = \tan 30° $，则它们之间的大小关系是()
A. $ c ＜ b ＜ a $
B. $ b ＜ a ＜ c $
C. $ a ＜ c ＜ b $
D. $ b ＜ c ＜ a $
答案
解：
$a = \sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$，
$b = \cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$，
$c = \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$。
因为$0.577 ＜ 0.707 ＜ 0.866$，即$c ＜ b ＜ a$。
故选A。
$a = \sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$，
$b = \cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$，
$c = \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$。
因为$0.577 ＜ 0.707 ＜ 0.866$，即$c ＜ b ＜ a$。
故选A。
2. 点 $ (-\sin 60°, \cos 60°) $关于 $ y $ 轴对称的点的坐标是()
A.$ ( \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2} ) $
B.$ ( -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2} ) $
C.$ ( -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{1}{2} ) $
D.$ ( -\dfrac{1}{2}, -\dfrac{3}{2} ) $
A.$ ( \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2} ) $
B.$ ( -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2} ) $
C.$ ( -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{1}{2} ) $
D.$ ( -\dfrac{1}{2}, -\dfrac{3}{2} ) $
答案
A
解析
1. 计算特殊角的三角函数值：$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\dfrac{1}{2}$，因此原点坐标为$(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2})$；2. 根据关于$y$轴对称的点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标互为相反数），可得对称点的坐标为$(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2})$。
3. 下列各式中不正确的是()
A.$ \sin^{2}60° + \cos^{2}60° = 1 $
B.$ \sin 30° + \cos 30° = 1 $
C.$ \sin 35° = \cos 55° $
D.$ \tan 45° ＞ \sin 45° $
A.$ \sin^{2}60° + \cos^{2}60° = 1 $
B.$ \sin 30° + \cos 30° = 1 $
C.$ \sin 35° = \cos 55° $
D.$ \tan 45° ＞ \sin 45° $
答案
B
解析
逐一验证各选项：
1. 选项A：根据同角三角函数的平方关系$\sin^{2}α + \cos^{2}α = 1$，可得$\sin^{2}60° + \cos^{2}60° = 1$，该式正确；
2. 选项B：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\sin30°+\cos30°=\frac{1+\sqrt{3}}{2}≠1$，该式错误；
3. 选项C：根据互余两角的三角函数关系$\sinα=\cos(90°-α)$，$90°-35°=55°$，故$\sin35°=\cos55°$，该式正确；
4. 选项D：$\tan45°=1$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，$1＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$\tan45°＞\sin45°$，该式正确。
综上，不正确的是选项B。
1. 选项A：根据同角三角函数的平方关系$\sin^{2}α + \cos^{2}α = 1$，可得$\sin^{2}60° + \cos^{2}60° = 1$，该式正确；
2. 选项B：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\sin30°+\cos30°=\frac{1+\sqrt{3}}{2}≠1$，该式错误；
3. 选项C：根据互余两角的三角函数关系$\sinα=\cos(90°-α)$，$90°-35°=55°$，故$\sin35°=\cos55°$，该式正确；
4. 选项D：$\tan45°=1$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，$1＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$\tan45°＞\sin45°$，该式正确。
综上，不正确的是选项B。
4. 在四边形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，$ ∠ ABC = 90° $，$ ∠ C = 60° $，$ AD = DC = 2\sqrt{2} $，则 $ BC $ 的长为()
A.$ \sqrt{3} $
B.$ 4\sqrt{2} $
C.$ 3\sqrt{2} $
D.$ 2\sqrt{3} $
A.$ \sqrt{3} $
B.$ 4\sqrt{2} $
C.$ 3\sqrt{2} $
D.$ 2\sqrt{3} $
答案
C
解析
1. 过点D作$DE ⊥ BC$于点E，由$AD // BC$，$∠ ABC=90°$，可知四边形ABED是矩形，故$BE=AD=2\sqrt{2}$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，$∠ DEC=90°$，$∠ C=60°$，$DC=2\sqrt{2}$，根据余弦定义$\cos C=\frac{EC}{DC}$，即$\cos60°=\frac{EC}{2\sqrt{2}}$；
3. 因为$\cos60°=\frac{1}{2}$，所以$EC=2\sqrt{2} × \frac{1}{2}=\sqrt{2}$；
4. 则$BC=BE+EC=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，$∠ DEC=90°$，$∠ C=60°$，$DC=2\sqrt{2}$，根据余弦定义$\cos C=\frac{EC}{DC}$，即$\cos60°=\frac{EC}{2\sqrt{2}}$；
3. 因为$\cos60°=\frac{1}{2}$，所以$EC=2\sqrt{2} × \frac{1}{2}=\sqrt{2}$；
4. 则$BC=BE+EC=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
5. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ ∠ A = 30° $，则 $ BC : AC : AB $ 等于()
A.$ 1 : 2 : 5 $
B.$ 1 : \sqrt{3} : \sqrt{5} $
C.$ 1 : \sqrt{3} : 2 $
D.$ 1 : 2 : \sqrt{3} $
A.$ 1 : 2 : 5 $
B.$ 1 : \sqrt{3} : \sqrt{5} $
C.$ 1 : \sqrt{3} : 2 $
D.$ 1 : 2 : \sqrt{3} $
答案
C
解析
设$BC=1$，在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ A = 30°$，根据30°角所对直角边是斜边的一半，得$AB=2BC=2$。由勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，故$BC:AC:AB=1:\sqrt{3}:2$。
6. 在 $ △ ABC $ 中，若 $ \cos A = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $，$ \tan B = \sqrt{3} $，则这个三角形一定是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
A
解析
根据特殊角的三角函数值，由$\cos A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$得$∠ A=45°$；由$\tan B = \sqrt{3}$得$∠ B=60°$。根据三角形内角和为$180°$，计算$∠ C=180° - 45° - 60°=75°$。由于$△ ABC$的三个内角均为锐角，故这个三角形是锐角三角形。
7. 如图 1，钓鱼竿 $ AC $ 长 $ 6 \, \mathrm{m} $，露在水面上的鱼线 $ BC $ 长 $ 3\sqrt{2} \, \mathrm{m} $，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 $ AC $ 转动到 $ AC' $ 的位置，此时露在水面上的鱼线 $ B'C' $ 为 $ 3\sqrt{3} \, \mathrm{m} $，则鱼竿转过的角度是()
A.$ 60° $
B.$ 45° $
C.$ 15° $
D.$ 30° $
A.$ 60° $
B.$ 45° $
C.$ 15° $
D.$ 30° $
答案
C
解析
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=6\,\mathrm{m}$，$BC=3\sqrt{2}\,\mathrm{m}$，
由正弦定义得：$\sin∠ CAB = \frac{BC}{AC} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
故$∠ CAB = 45°$。
2. 在$Rt△ AB'C'$中，$∠ AB'C'=90°$，$AC'=AC=6\,\mathrm{m}$，$B'C'=3\sqrt{3}\,\mathrm{m}$，
由正弦定义得：$\sin∠ C'AB' = \frac{B'C'}{AC'} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
故$∠ C'AB' = 60°$。
3. 鱼竿转过的角度为$∠ CAC' = ∠ C'AB' - ∠ CAB = 60° - 45° = 15°$。
由正弦定义得：$\sin∠ CAB = \frac{BC}{AC} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
故$∠ CAB = 45°$。
2. 在$Rt△ AB'C'$中，$∠ AB'C'=90°$，$AC'=AC=6\,\mathrm{m}$，$B'C'=3\sqrt{3}\,\mathrm{m}$，
由正弦定义得：$\sin∠ C'AB' = \frac{B'C'}{AC'} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
故$∠ C'AB' = 60°$。
3. 鱼竿转过的角度为$∠ CAC' = ∠ C'AB' - ∠ CAB = 60° - 45° = 15°$。
二、填空题
1. 已知 $ \tan α · \tan 30° = 1 $，且 $ ∠ α $ 为锐角，则 $ ∠ α = $.
1. 已知 $ \tan α · \tan 30° = 1 $，且 $ ∠ α $ 为锐角，则 $ ∠ α = $.
答案
解：
∵ $\tan α · \tan 30° = 1$，
∴ $\tan α = \frac{1}{\tan 30°}$，
∵ $\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $\tan α = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}$，
又∵ $∠α$ 为锐角，$\tan 60° = \sqrt{3}$，
∴ $∠α = 60°$。
∵ $\tan α · \tan 30° = 1$，
∴ $\tan α = \frac{1}{\tan 30°}$，
∵ $\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $\tan α = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}$，
又∵ $∠α$ 为锐角，$\tan 60° = \sqrt{3}$，
∴ $∠α = 60°$。
2. 已知锐角 $ A $ 满足 $ 4 \sin^{2} A = 3 $，则 $ ∠ A = $.
答案
$60°$
解析
由$4 \sin^{2} A = 3$，得$\sin^{2} A = \frac{3}{4}$。
因为$∠A$是锐角，$\sin A ＞ 0$，所以$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
根据特殊角的三角函数值，可知$∠A = 60°$。
因为$∠A$是锐角，$\sin A ＞ 0$，所以$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
根据特殊角的三角函数值，可知$∠A = 60°$。
3. 设 $ ∠ α $，$ ∠ β $ 均为锐角，且 $ \sin α - \cos β = 0 $，则 $ ∠ α + ∠ β = $.
答案
$90°$
解析
1. 由$\sinα - \cosβ = 0$，得$\sinα = \cosβ$；
2. 根据锐角三角函数的互余关系，$\cosβ = \sin(90° - β)$（$∠β$为锐角）；
3. 因此$\sinα = \sin(90° - β)$，结合$∠α$、$∠β$均为锐角，可得$α = 90° - β$；
4. 整理得$∠α + ∠β = 90°$。
2. 根据锐角三角函数的互余关系，$\cosβ = \sin(90° - β)$（$∠β$为锐角）；
3. 因此$\sinα = \sin(90° - β)$，结合$∠α$、$∠β$均为锐角，可得$α = 90° - β$；
4. 整理得$∠α + ∠β = 90°$。
4. 在 $ △ ABC $ 中，若 $ | \tan A - 1 | + ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^{2} = 0 $，则 $ ∠ C = $.
答案
$105°$
解析
因为绝对值和平方具有非负性，且$ | \tan A - 1 | + ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^{2} = 0 $，所以$\tan A - 1 = 0$，$\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B = 0$。
解得$\tan A = 1$，故$∠ A = 45°$；$\cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，故$∠ B = 30°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 45° - 30° = 105°$。
解得$\tan A = 1$，故$∠ A = 45°$；$\cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，故$∠ B = 30°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 45° - 30° = 105°$。
