5. 如图 2，$ △ ABC $ 中，$ AB = \sqrt{3} $，$ AC = \sqrt{6} $，$ ∠ A = 45° $，则 $ S_{△ ABC} = $.

$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$

过点B作$BD⊥ AC$于点D，在$Rt△ ABD$中，$∠ A=45°$，$AB=\sqrt{3}$，
则$BD=AB·\sin45°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{3}{2}$。

6. 若 $ ∠ B $ 为锐角，且 $ 2 \cos B - 1 = 0 $，则 $ ∠ B = $.

$60°$

先解方程 $2\cos B - 1 = 0$，移项得 $2\cos B = 1$，即 $\cos B = \frac{1}{2}$。因为 $∠B$ 为锐角，且 $\cos60°=\frac{1}{2}$，所以 $∠B=60°$。

7. 如图，沿倾斜角为 $ 30° $ 的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离 $ AC $ 为 $ 2 \, \mathrm{m} $，那么相邻两棵树的斜坡距离 $ AB $ 约为$ \mathrm{m} $(取 $ \sqrt{3} \approx 1.7 $，结果精确到 $ 0.1 \, \mathrm{m} $).

2.3

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=2m。由余弦定义得$\cos A=\frac{AC}{AB}$，则$AB=\frac{AC}{\cos30°}$。代入$AC=2$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$AB=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。将$\sqrt{3}\approx1.7$代入计算，$\frac{4×1.7}{3}\approx2.3$。

8. 若太阳光线与地面成 $ α $ 角 $ (30° ＜ α ＜ 45°) $，一棵椰子树的影子长为 $ 10 $ 米，则树高 $ h $ 的范围是(取 $ \sqrt{3} \approx 1.7 $).

$5.7$米$＜ h ＜ 10$米

由题意，树高$h$、影子长与太阳光线构成直角三角形，根据正切函数定义得$\tanα=\frac{h}{10}$，即$h=10\tanα$。
因为正切函数在$0°＜α＜90°$时单调递增，且$30°＜α＜45°$，所以$\tan30°＜\tanα＜\tan45°$。
代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx\frac{1.7}{3}\approx0.57$，$\tan45°=1$，
可得$10×0.57＜h＜10×1$，即$5.7＜h＜10$（单位：米）。

三、解答题
1. 求下列各式的值：


(1) $ 2 \sin 60° - 2 \cos 30° · \sin 45° $；
(2) $ \sqrt{ (\tan 60° - \cos 30°)^{2} } $；
(3) $ (\sin 60° + \cos 45°)(\sin 60° - \cos 45°) $；
(4) $ \sin 30° - \dfrac{2 \tan 45°}{\cos^{2}60°} $；
(5) $ 4 \sin^{2}45° - \dfrac{2}{3} \cos 30° + \dfrac{4}{3} \tan 60° $；
(6) $ 3 \tan 30° + ( -\dfrac{1}{2} )^{-1} - (3 - π)^{0} $.

解：
(1) $2 \sin 60° - 2 \cos 30° · \sin 45°$
$=2×\frac{\sqrt{3}}{2}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{6}}{2}$
(2) $\sqrt{ (\tan 60° - \cos 30°)^{2} }$
$=\left|\tan60°-\cos30°\right|$
$=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}$
(3) $(\sin 60° + \cos 45°)(\sin 60° - \cos 45°)$
$=\sin^{2}60°-\cos^{2}45°$
$=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$
$=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}$
$=\frac{1}{4}$
(4) $\sin 30° - \dfrac{2 \tan 45°}{\cos^{2}60°}$
$=\frac{1}{2}-\frac{2×1}{(\frac{1}{2})^{2}}$
$=\frac{1}{2}-\frac{2}{\frac{1}{4}}$
$=\frac{1}{2}-8$
$=-\frac{15}{2}$
(5) $4 \sin^{2}45° - \dfrac{2}{3} \cos 30° + \dfrac{4}{3} \tan 60°$
$=4×(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}-\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{4}{3}×\sqrt{3}$
$=4×\frac{2}{4}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}$
$=2+\sqrt{3}$
(6) $3 \tan 30° + ( -\dfrac{1}{2} )^{-1} - (3 - π)^{0}$
$=3×\frac{\sqrt{3}}{3}+(-2)-1$
$=\sqrt{3}-2-1$
$=\sqrt{3}-3$