1. 如图，已知$□ ABCD$，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使$□ ABCD$成为正方形。
①$AB = BC$；②$AC⊥ BD$；③$∠ ABC = 90^{\circ}$；④$AC = BD$。
下列四种选法错误的是()。

A.①②
B.①③
C.②③
D.①④

1. A

证明：
选项A（①②）：
①$AB=BC$得菱形，②$AC⊥BD$为菱形性质，无法判定为正方形，错误。
选项B（①③）：
①$AB=BC$得菱形，③$∠ABC=90°$得矩形，菱形+矩形=正方形，正确。
选项C（②③）：
③$∠ABC=90°$得矩形，②$AC⊥BD$得菱形，矩形+菱形=正方形，正确。
选项D（①④）：
①$AB=BC$得菱形，④$AC=BD$得矩形，菱形+矩形=正方形，正确。
错误的选法是A。
答案：A

2. 如图，矩形$ABCD$的对角线相交于点$O$。若$AO = 2$，则$BD =$。

2. 4

证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴对角线$AC = BD$，且$AO = \frac{1}{2}AC$，$BO = \frac{1}{2}BD$（矩形对角线相等且互相平分）。
∵$AO = 2$，
∴$AC = 2AO = 4$，
∴$BD = AC = 4$。
$4$

3. 在菱形$ABCD$中，$∠ ABC = 120^{\circ}$，对角线$AC = 6$，则菱形的周长是。

3. $ 8\sqrt{3} $

解：在菱形$ABCD$中，$AB=BC=CD=AD$，$AC⊥ BD$，$AC$平分$∠ BAD$，$BD$平分$∠ ABC$。
$\because ∠ ABC = 120^{\circ}$，$\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC = 60^{\circ}$。
$\because AC = 6$，$\therefore AO=\frac{1}{2}AC = 3$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB = 90^{\circ}$，$∠ ABO = 60^{\circ}$，
$\cos∠ ABO=\frac{AO}{AB}$，即$\cos60^{\circ}=\frac{3}{AB}$，$\frac{1}{2}=\frac{3}{AB}$，解得$AB = 6$。
菱形周长为$4AB=4×6 = 24$。
1

4. 如图，在矩形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$M$为$AD$的中点，连结$OM$。若$OM = 2.5$，$BC = 12$，则$AC$的长为。

4. 13

解：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$O$为$AC$中点，$AD = BC = 12$。
∵$M$为$AD$中点，
∴$OM$是$△ ACD$的中位线，
∴$OM=\frac{1}{2}CD$。
∵$OM = 2.5$，
∴$CD=5$。
在$Rt△ ACD$中，$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{12^2 + 5^2}=13$。
故$AC$的长为$13$。

5. 已知：如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 90^{\circ}$。分别以点$A$，$C$为圆心，$BC$，$AB$长为半径画弧，两弧交于点$D$，连结$AD$，$CD$。求证：四边形$ABCD$是矩形。

5. 因为 $ AD = BC $，$ CD = AB $，所以四边形 $ ABCD $ 是平行四边形。因为 $ ∠ ABC = 90^{\circ} $，所以四边形 $ ABCD $ 是矩形。

证明：由题意可知，以点$A$为圆心，$BC$长为半径画弧，交以点$C$为圆心，$AB$长为半径画弧于点$D$，所以$AD = BC$，$CD = AB$。
因为四边形$ABCD$的两组对边分别相等，即$AD = BC$，$CD = AB$，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
又因为$∠ ABC = 90^{\circ}$，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$ABCD$是矩形。