8. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD$ 为 $AB$ 边上的中线，$E$ 为 $CD$ 的中点，连结 $AE$ 并延长到点 $F$，使 $EF = AE$，连结 $FC$，$FB$。
(1) 求证：四边形 $BFCD$ 是菱形。
(2) 当$△ ABC$ 满足什么条件时，四边形 $BFCD$ 是正方形？请说明理由。

8. (1) 如图，连结 $DF$。由 $CE = DE$，$EF = AE$，可得四边形 $ADFC$ 是平行四边形，所以 $AD = CF$，$AD// CF$。因为 $D$ 为 $AB$ 的中点，所以 $BD = CF$，$BD// CF$，所以四边形 $BFCD$ 是平行四边形。因为 $∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD$ 为 $AB$ 边上的中线，所以 $CD = \frac{1}{2}AB = BD$，所以四边形 $BFCD$ 是菱形。

(2) 当 $AC = BC$ 时，四边形 $BFCD$ 是正方形。理由如下：因为 $AC = BC$，$CD$ 为 $AB$ 边上的中线，所以 $CD⊥ AB$，即 $∠ CDB = 90^{\circ}$。又因为四边形 $BFCD$ 是菱形，所以四边形 $BFCD$ 是正方形。

9. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在 $AC$ 上，$EF⊥DE$，交 $BC$ 于点 $F$，过点 $D$，$F$ 分别作 $DG// EF$，$FG// DE$，$DG$，$FG$ 交于点 $G$，连结 $CG$。
(1) 求证：$EF = DE$。
(2) 判断四边形 $DEFG$ 的形状，并说明理由。
(3) 当 $CF = CG$ 时，求 $CE:AE$ 的值。

9. (1) 如图，过点 $E$ 作 $MN⊥ BC$，分别交 $AD$，$BC$ 于点 $M$，$N$。因为正方形 $ABCD$，所以 $MN⊥ AD$，所以 $∠ DME = ∠ ENF = 90^{\circ}$。因为 $EF⊥ DE$，所以 $∠ DEM + ∠ NEF = 90^{\circ}$。又 $∠ DEM + ∠ MDE = 90^{\circ}$，所以 $∠ NEF = ∠ MDE$。因为 $EN = NC = DM$，所以 $△ NEF≌△ MDE$，所以 $EF = DE$。

(2) 四边形 $DEFG$ 是正方形。理由如下：因为 $DG// EF$，$FG// DE$，所以四边形 $DEFG$ 是平行四边形。因为 $EF = DE$，$EF⊥ DE$，四边形 $DEFG$ 是正方形。
(3) 由 $AD = CD$，$DE = DG$，$∠ ADE = ∠ CDG$，可证 $△ ADE≌△ CDG$，所以 $AE = CG = CF$。设 $AM = EM = 1$，则 $BN = NF = 1$，$CF = AE = \sqrt{2}$，所以 $CE:AE = CN:BN = \sqrt{2} + 1$。