登录
6. 如图,$A$,$B$,$C$是$\odot O$上的三点,$D$为$AB$的延长线上一点.若$∠ CBD=62^{\circ}$,则$∠ AOC$的度数是()
A.$130^{\circ}$
B.$124^{\circ}$
C.$118^{\circ}$
D.$100^{\circ}$
A.$130^{\circ}$
B.$124^{\circ}$
C.$118^{\circ}$
D.$100^{\circ}$
答案
B
解析
连接OB。因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB。又因为∠CBD=62°，所以∠OBA=180°-∠OBC-∠CBD=180°-∠OCB-62°。因为OA=OB，所以∠OAB=∠OBA。在△AOB中，∠AOB=180°-2∠OBA。∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠BOC=180°-2∠OBC。设∠OBC=x，则∠OBA=180°-x-62°=118°-x，∠AOB=180°-2(118°-x)=2x-56°，∠BOC=180°-2x，所以∠AOC=(2x-56°)+(180°-2x)=124°。
7. 某人在甲、乙、丙、丁四个超市购买某品牌商品的总价和数量如图所示.按平均单价计算,购买该品牌商品最划算的是在()
A.甲超市
B.乙超市
C.丙超市
D.丁超市
A.甲超市
B.乙超市
C.丙超市
D.丁超市
答案
C
解析
甲超市单价：20÷2=10元/件；乙超市单价：40÷6≈6.67元/件；丙超市单价：60÷10=6元/件；丁超市单价：80÷12≈6.67元/件。比较得丙超市单价最低，最划算。
8. 已知一个函数同时满足下列条件:① 图象经过点$(1,1)$;② 图象经过第四象限;③ 当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小.这个函数的解析式可能是()
A.$y=2x-1$
B.$y=\frac{1}{x}$
C.$y=-x^{2}+4x-2$
D.$y=-2x^{2}+3x$
A.$y=2x-1$
B.$y=\frac{1}{x}$
C.$y=-x^{2}+4x-2$
D.$y=-2x^{2}+3x$
答案
D
解析
逐一分析各选项是否满足题目三个条件：
A. 对于$y = 2x - 1$：
将点$(1,1)$代入得：$1 = 2× 1 - 1 = 1$，满足条件①。
由于该函数的斜率为正，图像从左到右上升，不会进入第四象限，不满足条件②。
因此，A选项不符合题意。
B. 对于$y = \frac{1}{x}$：
将点$(1,1)$代入得：$1 = \frac{1}{1} = 1$，满足条件①。
但在$x ＞ 0$时，无论$x$如何变化，$y$始终大于0，不会进入第四象限，不满足条件②。
因此，B选项不符合题意。
C. 对于$y = -x^2 + 4x - 2$：
将点$(1,1)$代入得：$1 = -1^2 + 4× 1 - 2 = 1$，满足条件①。
由于该函数的开口向下，且顶点在第一象限，它的最大值大于0，因此会进入第一象限和第四象限的相邻区域，但不会完全进入第四象限（即存在一部分在第一象限），同时当$x ＞ 2$时，$y$随$x$的增大而减小，但题目要求$x ＞ 1$时，不满足条件，由于该函数对称轴为$x=2$，所以在$x＞2$时，y才随x增大而减小，不满足条件③中$x＞1$就减小的要求。
因此，C选项不符合题意。
D. 对于$y = -2x^2 + 3x$：
将点$(1,1)$代入得：$1 = -2× 1^2 + 3× 1 = 1$，满足条件①。
由于该函数的开口向下，且顶点在第一象限，当x足够大时，y会小于0，即进入第四象限，满足条件②。
同时，由于该函数的对称轴为$x = \frac{3}{4}$，且开口向下，所以在$x ＞ \frac{3}{4}$的右侧（特别是$x ＞ 1$时），$y$随$x$的增大而减小，满足条件③。
因此，D选项符合题意。
A. 对于$y = 2x - 1$：
将点$(1,1)$代入得：$1 = 2× 1 - 1 = 1$，满足条件①。
由于该函数的斜率为正，图像从左到右上升，不会进入第四象限，不满足条件②。
因此，A选项不符合题意。
B. 对于$y = \frac{1}{x}$：
将点$(1,1)$代入得：$1 = \frac{1}{1} = 1$，满足条件①。
但在$x ＞ 0$时，无论$x$如何变化，$y$始终大于0，不会进入第四象限，不满足条件②。
因此，B选项不符合题意。
C. 对于$y = -x^2 + 4x - 2$：
将点$(1,1)$代入得：$1 = -1^2 + 4× 1 - 2 = 1$，满足条件①。
由于该函数的开口向下，且顶点在第一象限，它的最大值大于0，因此会进入第一象限和第四象限的相邻区域，但不会完全进入第四象限（即存在一部分在第一象限），同时当$x ＞ 2$时，$y$随$x$的增大而减小，但题目要求$x ＞ 1$时，不满足条件，由于该函数对称轴为$x=2$，所以在$x＞2$时，y才随x增大而减小，不满足条件③中$x＞1$就减小的要求。
因此，C选项不符合题意。
D. 对于$y = -2x^2 + 3x$：
将点$(1,1)$代入得：$1 = -2× 1^2 + 3× 1 = 1$，满足条件①。
由于该函数的开口向下，且顶点在第一象限，当x足够大时，y会小于0，即进入第四象限，满足条件②。
同时，由于该函数的对称轴为$x = \frac{3}{4}$，且开口向下，所以在$x ＞ \frac{3}{4}$的右侧（特别是$x ＞ 1$时），$y$随$x$的增大而减小，满足条件③。
因此，D选项符合题意。
9. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90^{\circ}$,$AB=5$,$BC=\sqrt{5}$,点$D$在折线$A-C-B$上运动,过点$D$作$AB$的垂线,垂足为$E$.设$AE=x$,$S_{△ ADE}=y$,则$y$关于$x$的函数图象大致是()
答案
C
解析
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=√5，由勾股定理得AC=2√5。分两种情况讨论：
情况1：点D在AC上（0≤x≤4）
∠A为公共角，△ADE∽△ABC，cosA=AC/AB=2√$\frac{5}{5}$，sinA=BC/AB=√$\frac{5}{5}$。
AE=x，AD=AE/cosA=√5x/2，DE=AD·sinA=x/2。
则y=$\frac{1}{2}$·AE·DE=$\frac{1}{2}$·x·(x/2)=x²/4，为开口向上的抛物线，x=4时y=4。
情况2：点D在CB上（4≤x≤5）
∠B为公共角，△BDE∽△BAC，BE=5-x，DE=AC·BE/BC=2(5-x)。
则y=$\frac{1}{2}$·AE·DE=$\frac{1}{2}$·x·2(5-x)=-x²+5x，为开口向下的抛物线，x=4时y=4，x=5时y=0。
综上，函数图像先为开口向上抛物线（0≤x≤4），再为开口向下抛物线（4≤x≤5）。
情况1：点D在AC上（0≤x≤4）
∠A为公共角，△ADE∽△ABC，cosA=AC/AB=2√$\frac{5}{5}$，sinA=BC/AB=√$\frac{5}{5}$。
AE=x，AD=AE/cosA=√5x/2，DE=AD·sinA=x/2。
则y=$\frac{1}{2}$·AE·DE=$\frac{1}{2}$·x·(x/2)=x²/4，为开口向上的抛物线，x=4时y=4。
情况2：点D在CB上（4≤x≤5）
∠B为公共角，△BDE∽△BAC，BE=5-x，DE=AC·BE/BC=2(5-x)。
则y=$\frac{1}{2}$·AE·DE=$\frac{1}{2}$·x·2(5-x)=-x²+5x，为开口向下的抛物线，x=4时y=4，x=5时y=0。
综上，函数图像先为开口向上抛物线（0≤x≤4），再为开口向下抛物线（4≤x≤5）。
