10. 如图,将矩形$ABCD$沿对角线$AC$所在直线折叠,点$D$落在点$D'$处,过$AC$的中点$O$作$OE// BC$交$AD'$于点$E$.若$AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,则$OE$的长为()

A.$\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$\frac{25}{6}\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$

C

在矩形$ABCD$中，$AB=8\mathrm{cm}$，$BC=6\mathrm{cm}$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\mathrm{cm}$，$O$为$AC$中点，故$AO=OC=5\mathrm{cm}$。
折叠后$AD'=AD=6\mathrm{cm}$，$CD'=CD=8\mathrm{cm}$，$∠ AD'C=90°$。建立坐标系，设$A(0,0)$，$B(8,0)$，$C(8,6)$，$D(0,6)$，则$O(4,3)$。设$D'(x,y)$，由对称性得$\begin{cases}3x-4y=24\\4x+3y=18\end{cases}$，解得$D'(\dfrac{144}{25},-\dfrac{42}{25})$。
$AD'$的方程为$y=-\dfrac{7}{24}x$，$OE// BC$（竖直线），故$OE$方程为$x=4$，与$AD'$交于$E(4,-\dfrac{7}{6})$。$OE$长度为$\left|3-(-\dfrac{7}{6})\right|=\dfrac{25}{6}\mathrm{cm}$。

二、填空题(本大题共6小题,11~12题每小题3分,13~16题每小题4分,共22分)
11. 分解因式:$m^{2}-mn=$.

m(m - n)

12. 计算$\sqrt{27}-3\sqrt{\frac{1}{3}}$的结果是.

$2\sqrt{3}$

$\sqrt{27}-3\sqrt{\frac{1}{3}} = 3\sqrt{3} - 3×\frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

13. 如图,$D$,$E$两点分别在$AB$,$AC$上,$AB=AC$.若添加一个条件可使$△ ABE≌ △ ACD$,则这个条件可以是.(填一个即可)

AD=AE

已知AB=AC，∠A为公共角。若添加AD=AE，根据SAS可证△ABE≌△ACD；若添加∠B=∠C，根据ASA可证；若添加∠AEB=∠ADC，根据AAS可证。填AD=AE（答案不唯一）