12. 阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题:
$sin30^{\circ }=\frac {1}{2},cos30^{\circ }=\frac {\sqrt {3}}{2}$,则$sin^{2}30^{\circ }+cos^{2}30^{\circ }=$;$sin45^{\circ }=\frac {\sqrt {2}}{2},cos45^{\circ }=\frac {\sqrt {2}}{2}$,则$sin^{2}45^{\circ }+cos^{2}45^{\circ }=$;$sin60^{\circ }=\frac {\sqrt {3}}{2},cos60^{\circ }=\frac {1}{2}$,则$sin^{2}60^{\circ }+cos^{2}60^{\circ }=$.
……
观察上述等式,猜想:对任意锐角 A,都有$sin^{2}A+cos^{2}A=$.
(1)如图,在锐角三角形 ABC 中,利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想;
(2)已知$∠A$为锐角$(cosA＞0)$,且$sinA=\frac {3}{5}$,求$cosA$的值.
(第12题)
$sin30^{\circ }=\frac {1}{2},cos30^{\circ }=\frac {\sqrt {3}}{2}$,则$sin^{2}30^{\circ }+cos^{2}30^{\circ }=$;$sin45^{\circ }=\frac {\sqrt {2}}{2},cos45^{\circ }=\frac {\sqrt {2}}{2}$,则$sin^{2}45^{\circ }+cos^{2}45^{\circ }=$;$sin60^{\circ }=\frac {\sqrt {3}}{2},cos60^{\circ }=\frac {1}{2}$,则$sin^{2}60^{\circ }+cos^{2}60^{\circ }=$.
……
观察上述等式,猜想:对任意锐角 A,都有$sin^{2}A+cos^{2}A=$.
(1)如图,在锐角三角形 ABC 中,利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想;
(2)已知$∠A$为锐角$(cosA＞0)$,且$sinA=\frac {3}{5}$,求$cosA$的值.
(第12题)
答案
1
1
1
1
解：(1)过点B作BD⊥AC，垂足为点D
在Rt△ABD中，由勾股定理可得，$AB^2=AD^2+BD^2$
∵$sinA=\frac {BD}{AB}，$$cosA=\frac {AD}{AB}$
∴$sin^2A+cos^2A=\frac {BD^2+AD^2}{AB^2}=1$
(2)∵$sinA=\frac 35，$$sin^2A+cos^2A=1$
∴$cos^2A=1-sin^2A=\frac {16}{25}$
∵∠A为锐角(cosA＞0)
∴$cosA=\sqrt {\frac {16}{25}}=\frac 45$
13. 如图,在$△ABC$中,$∠C=90^{\circ }$,D 是 BC 上的一点,$∠ADC=45^{\circ },BD=2DC$.求$cosB$和$sin∠BAD$的值.
(第13题)
(第13题)
答案
解：过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E
设DC=x，则BD=2x，BC=BD+DC=3x
∵∠ADC=45°，∠C=90°
∴△ACD是等腰直角三角形
∴AC=DC=x
在Rt△BCD中，∵BC=3x，AC=x
∴$AB=\sqrt {BC^2+AC^2}=\sqrt {10}x$
∴$cosB=\frac {BC}{AB}=\frac {3x}{\sqrt {10}x}=\frac {3\sqrt {10}}{10}$
∵∠BDE=∠ADC=45°，BE⊥AD
∴△BDE是等腰直角三角形
∵BD=2x
∴$BE=DE=\frac {BD}{\sqrt 2}=\sqrt 2x$
∵△ACD是等腰直角三角形，CD=x
∴$AD=\sqrt 2CD=\sqrt 2x$
∴$AE=AD+DE=2\sqrt 2x$
在Rt△ABE中，∵$AE=2\sqrt 2x，$$BE=\sqrt 2x$
∴$AB=\sqrt {AE^2+BE^2}=\sqrt {10}x$
∴$sin∠BAD=\frac {BE}{AB}=\frac {\sqrt 2x}{\sqrt {10}x}=\frac {\sqrt 5}5$
综上所述，$cosB=\frac {3\sqrt {10}}{10}，$$sin∠BAD=\frac {\sqrt 5}5$
