登录
17. 若函数 $ y = kx + b $ 的图象过点 $ A(-3,0) $，$ B(0,4) $，则不等式 $ 0 ≤ kx + b ≤ 4 $ 的解集为。
答案
$-3≤ x≤0$
解析
函数$y=kx+b$的图象过点$A(-3,0)$、$B(0,4)$，由两点可知该一次函数单调递增。当$y=0$时，$x=-3$；当$y=4$时，$x=0$。要满足$0≤ kx+b≤4$，即$0≤ y≤4$，对应的$x$取值范围为$-3≤ x≤0$。
18. 画出函数 $ y = 2x + 6 $ 的图象，利用图象：
（1）求方程 $ 2x + 6 = 0 $ 的解；
（2）求不等式 $ 2x + 6 ＞ 0 $ 的解集；
（3）求不等式 $ -2 ≤ 2x + 6 ≤ 2 $ 的整数解。
（1）求方程 $ 2x + 6 = 0 $ 的解；
（2）求不等式 $ 2x + 6 ＞ 0 $ 的解集；
（3）求不等式 $ -2 ≤ 2x + 6 ≤ 2 $ 的整数解。
答案
解：
1. 绘制函数$y=2x+6$的图象：
当$x=0$时，$y=6$；当$y=0$时，$x=-3$，
在平面直角坐标系中描出点$(0,6)$和$(-3,0)$，过两点作直线，即为$y=2x+6$的图象。
（1）观察图象，直线$y=2x+6$与$x$轴交点为$(-3,0)$，
故方程$2x+6=0$的解为$\boldsymbol{x=-3}$。
（2）观察图象，当$x＞-3$时，直线$y=2x+6$的图象位于$x$轴上方，即$y＞0$，
故不等式$2x+6＞0$的解集为$\boldsymbol{x＞-3}$。
（3）当$y=-2$时，$2x+6=-2$，解得$x=-4$；
当$y=2$时，$2x+6=2$，解得$x=-2$；
观察图象，当$-4≤ x≤-2$时，函数值满足$-2≤ y≤2$，
故不等式$-2≤2x+6≤2$的整数解为$\boldsymbol{-4,-3,-2}$。
1. 绘制函数$y=2x+6$的图象：
当$x=0$时，$y=6$；当$y=0$时，$x=-3$，
在平面直角坐标系中描出点$(0,6)$和$(-3,0)$，过两点作直线，即为$y=2x+6$的图象。
（1）观察图象，直线$y=2x+6$与$x$轴交点为$(-3,0)$，
故方程$2x+6=0$的解为$\boldsymbol{x=-3}$。
（2）观察图象，当$x＞-3$时，直线$y=2x+6$的图象位于$x$轴上方，即$y＞0$，
故不等式$2x+6＞0$的解集为$\boldsymbol{x＞-3}$。
（3）当$y=-2$时，$2x+6=-2$，解得$x=-4$；
当$y=2$时，$2x+6=2$，解得$x=-2$；
观察图象，当$-4≤ x≤-2$时，函数值满足$-2≤ y≤2$，
故不等式$-2≤2x+6≤2$的整数解为$\boldsymbol{-4,-3,-2}$。
19. 已知线段 $ AB $ 的端点分别为 $ A(1,3) $，$ B(3,0) $，一次函数 $ y = (m - 1)x + 1 $ 图象与线段 $ AB $ 相交，求 $ m $ 的取值范围。
答案
解：
1. 求线段AB的解析式：
设线段AB的函数解析式为$y=kx+b$，将$A(1,3)$，$B(3,0)$代入，得：
$\begin{cases}k + b = 3 \\ 3k + b = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{2} \\ b=\frac{9}{2}\end{cases}$
所以线段AB的解析式为$y=-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}\ (1≤ x≤3)$。
2. 求一次函数经过线段端点时的$m$值：
① 将$A(1,3)$代入$y=(m-1)x+1$：
$3=(m-1)×1 +1$
解得$m=3$。
② 将$B(3,0)$代入$y=(m-1)x+1$：
$0=(m-1)×3 +1$
解得$m=\frac{2}{3}$。
3. 确定$m$的取值范围：
一次函数$y=(m-1)x+1$恒过定点$(0,1)$，当$\frac{2}{3}≤ m≤3$时，直线与线段AB（含端点）相交。
综上，$m$的取值范围是$\boxed{\frac{2}{3}≤ m≤3}$。
1. 求线段AB的解析式：
设线段AB的函数解析式为$y=kx+b$，将$A(1,3)$，$B(3,0)$代入，得：
$\begin{cases}k + b = 3 \\ 3k + b = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{2} \\ b=\frac{9}{2}\end{cases}$
所以线段AB的解析式为$y=-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}\ (1≤ x≤3)$。
2. 求一次函数经过线段端点时的$m$值：
① 将$A(1,3)$代入$y=(m-1)x+1$：
$3=(m-1)×1 +1$
解得$m=3$。
② 将$B(3,0)$代入$y=(m-1)x+1$：
$0=(m-1)×3 +1$
解得$m=\frac{2}{3}$。
3. 确定$m$的取值范围：
一次函数$y=(m-1)x+1$恒过定点$(0,1)$，当$\frac{2}{3}≤ m≤3$时，直线与线段AB（含端点）相交。
综上，$m$的取值范围是$\boxed{\frac{2}{3}≤ m≤3}$。
20. 在学习函数的过程中，我们可以通过描点或平移的方法画出函数图象。同时，我们也学习了绝对值的意义：$ |a| = \begin{cases} a(a ≥ 0), \\ -a(a ＜ 0), \end{cases} $ 因此可以画出如图①所示的函数 $ y = |x| $ 的图象。结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：
已知在函数 $ y = |kx - 2| + b $ 中，当 $ x = 0 $ 时，$ y = -2 $；当 $ x = 2 $ 时，$ y = -4 $。
（1）求这个函数的表达式；
（2）请在图②的平面直角坐标系中画出这个函数的图象并写出这个函数的两条性质；
（3）结合（2）中所画的函数图象，直接写出不等式 $ -4 ≤ |kx - 2| + b ≤ 0 $ 的解集。
已知在函数 $ y = |kx - 2| + b $ 中，当 $ x = 0 $ 时，$ y = -2 $；当 $ x = 2 $ 时，$ y = -4 $。
（1）求这个函数的表达式；
（2）请在图②的平面直角坐标系中画出这个函数的图象并写出这个函数的两条性质；
（3）结合（2）中所画的函数图象，直接写出不等式 $ -4 ≤ |kx - 2| + b ≤ 0 $ 的解集。
答案
解：
（1）将$x=0$，$y=-2$代入$y=|kx-2|+b$，得：
$\vert 0 - 2\vert + b = -2$
$2 + b = -2$
解得$b = -4$
将$x=2$，$y=-4$，$b=-4$代入$y=|kx-2|+b$，得：
$\vert 2k - 2\vert - 4 = -4$
$\vert 2k - 2\vert = 0$
即$2k - 2 = 0$，解得$k=1$
因此，该函数的表达式为$\boldsymbol{y=|x-2|-4}$
（2）根据绝对值的意义，将函数写成分段函数：
当$x-2≥0$，即$x≥2$时，$y=(x-2)-4=x-6$；
当$x-2＜0$，即$x＜2$时，$y=-(x-2)-4=-x-2$。
描点画图：
对于$y=x-6$（$x≥2$），取点$(2,-4)$、$(3,-3)$、$(4,-2)$，依次连线；
对于$y=-x-2$（$x＜2$），取点$(0,-2)$、$(1,-3)$、$(-2,0)$，依次连线，得到函数图象。
函数的两条性质：
① 当$x=2$时，函数取得最小值$-4$；
② 当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小。
（3）解不等式$-4≤|x-2|-4≤0$，转化为不等式组：
$\begin{cases}|x-2|-4≥-4 \\|x-2|-4≤0\end{cases}$
解第一个不等式：
$|x-2|≥0$，该不等式对全体实数$x$恒成立。
解第二个不等式：
$|x-2|≤4$，根据绝对值的意义得：
$-4≤ x-2≤4$
不等式各部分加2，得$-2≤ x≤6$
因此，不等式$-4≤|kx-2|+b≤0$的解集为$\boldsymbol{-2≤ x≤6}$
（1）将$x=0$，$y=-2$代入$y=|kx-2|+b$，得：
$\vert 0 - 2\vert + b = -2$
$2 + b = -2$
解得$b = -4$
将$x=2$，$y=-4$，$b=-4$代入$y=|kx-2|+b$，得：
$\vert 2k - 2\vert - 4 = -4$
$\vert 2k - 2\vert = 0$
即$2k - 2 = 0$，解得$k=1$
因此，该函数的表达式为$\boldsymbol{y=|x-2|-4}$
（2）根据绝对值的意义，将函数写成分段函数：
当$x-2≥0$，即$x≥2$时，$y=(x-2)-4=x-6$；
当$x-2＜0$，即$x＜2$时，$y=-(x-2)-4=-x-2$。
描点画图：
对于$y=x-6$（$x≥2$），取点$(2,-4)$、$(3,-3)$、$(4,-2)$，依次连线；
对于$y=-x-2$（$x＜2$），取点$(0,-2)$、$(1,-3)$、$(-2,0)$，依次连线，得到函数图象。
函数的两条性质：
① 当$x=2$时，函数取得最小值$-4$；
② 当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小。
（3）解不等式$-4≤|x-2|-4≤0$，转化为不等式组：
$\begin{cases}|x-2|-4≥-4 \\|x-2|-4≤0\end{cases}$
解第一个不等式：
$|x-2|≥0$，该不等式对全体实数$x$恒成立。
解第二个不等式：
$|x-2|≤4$，根据绝对值的意义得：
$-4≤ x-2≤4$
不等式各部分加2，得$-2≤ x≤6$
因此，不等式$-4≤|kx-2|+b≤0$的解集为$\boldsymbol{-2≤ x≤6}$
