7. 已知$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$△ AOB$的面积为$2$，则$□ ABCD$的面积为.

7.8

因为四边形$ABCD$是平行四边形，其对角线$AC$，$BD$交于点$O$，所以$OA = OC$，$OB = OD$。
$△ AOB$与$△ AOD$等底（$OA$为公共底）同高（点$B$和点$D$到$AC$的距离相等），所以$S_{△ AOB}=S_{△ AOD}=2$。
同理，$△ AOB$与$△ COB$等底（$OB$为公共底）同高（点$A$和点$C$到$BD$的距离相等），所以$S_{△ AOB}=S_{△ COB}=2$；$△ AOD$与$△ COD$等底（$OD$为公共底）同高（点$A$和点$C$到$BD$的距离相等），所以$S_{△ AOD}=S_{△ COD}=2$。
则$□ ABCD$的面积为$S_{△ AOB}+S_{△ AOD}+S_{△ COB}+S_{△ COD}=2 + 2 + 2 + 2=8$。
8

8. 如图，$□ ABCD$的对角线交于点$O$，且$AB = 5$，$△ OCD$的周长为$23$，则$□ ABCD$的两条对角线的和是.

8.36

解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB = CD = 5$，$OA = OC$，$OB = OD$。
$\because △ OCD$的周长为$23$，
$\therefore OC + OD + CD = 23$。
$\because CD = 5$，
$\therefore OC + OD = 23 - 5 = 18$。
$\because AC = 2OC$，$BD = 2OD$，
$\therefore AC + BD = 2(OC + OD) = 2×18 = 36$。
故$□ABCD$的两条对角线的和是$36$。

9. 已知$□ ABCD$的对角线的交点在原点，且$AD// x$轴，若点$A$的坐标为$( - 1,2)$，则点$C$的坐标为.

9.(1,−2)

(1,-2)

10. 在$□ ABCD$中，$AC = 10$，$AB = 8$，则另一条对角线$BD$的取值范围为.

10.6＜BD＜26

在平行四边形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$互相平分，设交点为$O$，则$AO=\frac{1}{2}AC = 5$，$BO=\frac{1}{2}BD$。
在$△ AOB$中，根据三角形三边关系：$|AB - AO| ＜ BO ＜ AB + AO$，即$|8 - 5| ＜ BO ＜ 8 + 5$，$3 ＜ BO ＜ 13$。
所以$2×3 ＜ BD ＜ 2×13$，即$6 ＜ BD ＜ 26$。
$6 ＜ BD ＜ 26$

11. 如图，在$□ ABCD$中，$AE⊥ BC$于点$E$，$AB = 10$，$AD = 12$，$AE = 8$，$□ ABCD$的面积为，$AB$，$CD$之间的距离为.

11.96 9.6

解：在$□ABCD$中，$AD=BC=12$。
因为$AE⊥BC$，$AE=8$，所以$□ABCD$的面积为$BC×AE=12×8=96$。
设$AB$，$CD$之间的距离为$h$，由于$AB=CD=10$，且平行四边形面积也可表示为$CD×h$，则$10h=96$，解得$h=\frac{96}{10}=9.6$。
96；9.6

12. 如图，平行四边形$ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$AE⊥ BC$，垂足为$E$，$AB = 3$，$AO = 2$，$BC = 5$，则$AE$的长为.

12.$\frac{12}{5}$

解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AC = 2AO = 4$，$AB = CD = 3$，$AD = BC = 5$。
在$△ ABC$中，$AB = 3$，$BC = 5$，$AC = 4$，
∵$3^2 + 4^2 = 5^2$，即$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
∴$△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC = 90°$。
$△ ABC$的面积$S = \frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
又
∵$S = \frac{1}{2} × BC × AE$，
∴$\frac{1}{2} × 5 × AE = 6$，解得$AE = \frac{12}{5}$。
$\frac{12}{5}$

1. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，已知$AD = 8$，$BD = 12$，$AC = 6$，则$△ OBC$的周长为()

A.$13$
B.$17$
C.$20$
D.$26$

1.B

解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD = BC$，$OA = OC$，$OB = OD$。
∵$AD = 8$，$BD = 12$，$AC = 6$，
∴$BC = 8$，$OC=\frac{1}{2}AC = 3$，$OB=\frac{1}{2}BD = 6$。
∴$△ OBC$的周长为$OB + OC + BC=6 + 3 + 8=17$。
答案：B

2. 在$□ ABCD$中，$AB = \sqrt{3}$，$AC = 2$，$BD = 4$，则$BC$的长是()

A.$\sqrt{7}$
B.$3$
C.$2\sqrt{3}$
D.$5$

2.A

在平行四边形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，则$AO=\frac{1}{2}AC = 1$，$BO=\frac{1}{2}BD = 2$。
在$△ AOB$中，由余弦定理得：$\cos∠ AOB=\frac{AO^{2}+BO^{2}-AB^{2}}{2· AO· BO}=\frac{1^{2}+2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{2×1×2}=\frac{1 + 4 - 3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
因为$∠ AOB+∠ AOD = 180^{\circ}$，所以$\cos∠ AOD=\cos(180^{\circ}-∠ AOB)=-\cos∠ AOB=-\frac{1}{2}$。
在$△ AOD$中，$AD = BC$，由余弦定理得：$AD^{2}=AO^{2}+DO^{2}-2· AO· DO·\cos∠ AOD$，其中$DO = BO = 2$，则$AD^{2}=1^{2}+2^{2}-2×1×2×(-\frac{1}{2})=1 + 4 + 2=7$，所以$AD=\sqrt{7}$，即$BC=\sqrt{7}$。
A

3. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$BC = 8$，$P$为边$AC$上的一动点，以$PA$，$PB$为边作$□ APBQ$，则线段$PQ$长的最小值为.

3.$\frac{24}{5}$