7. 如图，已知$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{2}{3}$，则$\dfrac{AD}{BD} =$，$\dfrac{EC}{AE} =$.

2
$​\frac {1}{2}​$

【解析】
1. 计算$\dfrac{AD}{BD}$：
已知$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{3}$，设$AD=2k$，$AB=3k$（$k≠0$），则$BD=AB-AD=3k-2k=k$，因此$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{2k}{k}=2$。
2. 计算$\dfrac{EC}{AE}$：
已知$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{2}{3}$，设$AE=2m$，$AC=3m$（$m≠0$），则$EC=AC-AE=3m-2m=m$，因此$\dfrac{EC}{AE}=\dfrac{m}{2m}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
比例的性质；线段的和差
【点评】
本题通过设参数的方式，结合线段的和差关系与比例性质求解，将抽象的比例转化为具体的线段长度关系，降低了解题难度，核心是掌握比例与线段数量关系的转化方法。

8. 如图，$OA = 9$，$DA = 12$，$BC = 6$，且$\dfrac{OC}{OD} = \dfrac{OB}{OA}$. 求$OB$、$OC$的长.

解：∵​OA=9，​​DA=12​
∴​OD=3​
∵$​\frac {OC}{OD}=\frac {OB}{OA}​$
∴$​\frac {OB}{OC}=\frac {OA}{OD}=3​$
又∵​OB+OC=BC=6​
∴​OB=4.5，​​OC=1.5​

【解析】
1. 计算$OD$的长度：
已知$OA = 9$，$DA = 12$，则$OD = DA - OA = 12 - 9 = 3$；
2. 推导$OB$与$OC$的比例关系：
由$\dfrac{OC}{OD} = \dfrac{OB}{OA}$，代入$OA=9$，$OD=3$，可得$\dfrac{OB}{OC} = \dfrac{OA}{OD} = \dfrac{9}{3} = 3$，即$OB = 3OC$；
3. 结合线段和差求解：
因为$OB + OC = BC = 6$，将$OB = 3OC$代入得$3OC + OC = 6$，解得$OC = 1.5$，进而$OB = 3×1.5 = 4.5$。
【答案】
$OB=4.5$，$OC=1.5$
【知识点】
比例的性质，线段和差运算
【点评】
本题结合线段和差运算求出线段$OD$的长，再利用比例的性质建立$OB$与$OC$的数量关系，最终通过线段和的条件求解，考查了比例性质的应用与线段运算的综合能力。

9. （1）如果$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = ··· = \dfrac{m}{n} = k(b + d + ··· + n ≠ 0)$，那么$\dfrac{a + c + ··· + m}{b + d + ··· + n} = k$成立吗？为什么？
（2）在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{CA}{C'A'} = \dfrac{1}{2}$，且$△ ABC$的周长为$15\mathrm{cm}$. 求$△ A'B'C'$的周长.

解：​(1)​由等式得​a=kb，​​c=kd，​···，​m=kn​
∴​a+c+···+m=k(b+d+···+n)​
∴$​\frac {a+c+···+m}{b+d+···+n}=k​$成立
​(2)​由​(1)​的结论，
可得$​A'B'+B'C'+C'A'=2(AB+BC+CA)=30(\mathrm {cm})​$

【解析】
(1) 成立，理由如下：
由$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = ··· = \dfrac{m}{n} = k$（$b + d + ··· + n ≠ 0$），根据等式性质可得：
$a=kb$，$c=kd$，···，$m=kn$，
将上述式子相加得：$a+c+···+m=k(b+d+···+n)$，
因为$b + d + ··· + n ≠ 0$，等式两边同时除以$b + d + ··· + n$，
所以$\dfrac{a + c + ··· + m}{b + d + ··· + n} = k$成立。
(2) 由(1)的等比性质可知：
$\dfrac{AB+BC+CA}{A'B'+B'C'+C'A'}=\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{1}{2}$，
已知$△ ABC$的周长为$15\mathrm{cm}$，即$AB+BC+CA=15\mathrm{cm}$，
代入得$\dfrac{15}{A'B'+B'C'+C'A'}=\dfrac{1}{2}$，
解得$A'B'+B'C'+C'A'=30\mathrm{cm}$，即$△ A'B'C'$的周长为$30\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 成立，理由见解析；
(2) $\boxed{30\mathrm{cm}}$
【知识点】
等比性质，相似三角形周长比
【点评】
本题考查等比性质的推导及应用，第一问通过代数变形严谨推导等比性质，第二问利用该性质快速求解相似三角形的周长，需牢记等比性质的成立条件，学会知识的迁移运用。