1. 已知点 $ P $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点，$ AP ＞ PB $. 如果 $ AB = 10 $，那么 $ AP $ 的长为.

$​5\sqrt 5-5​$

【解析】
根据黄金分割的定义，若点$P$是线段$AB$的黄金分割点且$AP＞PB$，则$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
已知$AB=10$，代入得：
$AP=10×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=5(\sqrt{5}-1)=5\sqrt{5}-5$。
【答案】
$5\sqrt{5}-5$
【知识点】
黄金分割
【点评】
本题考查黄金分割的定义，牢记黄金分割中较长线段与原线段的比例关系是解题关键。

2. 如果 $ b = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $ 是 $ a $ 与 $ c $ 的比例中项，且 $ a = 1 $，那么 $ c = $.

$​\frac {3-\sqrt 5}2​$

【解析】
根据比例中项的定义，若$b$是$a$与$c$的比例中项，则$b^2 = ac$。
已知$a = 1$，$b = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，先计算$b^2$：
$\begin{aligned}b^2&=(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})^2\\&=\frac{(\sqrt{5})^2 - 2×\sqrt{5}×1 + 1^2}{4}\\&=\frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{4}\\&=\frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}\\&=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\end{aligned}$
因为$b^2 = ac$且$a = 1$，所以$c = b^2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
【知识点】
比例中项的定义，二次根式的运算
【点评】
本题主要考查比例中项的概念及二次根式的平方运算，熟练掌握比例中项的定义和二次根式的运算法则是解题关键。

3. (1)如果点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上，且 $ AC:CB = 5:2 $，那么 $ AC:AB = $；
(2)如果点 $ C $ 在线段 $ AB $ 的延长线上，且 $ AC:CB = 5:2 $，那么 $ AC:AB = $.

5：7
5：3

【解析】
(1) 因为点$ C $在线段$ AB $上，$ AC:CB = 5:2 $，设$ AC = 5k $，$ CB = 2k $（$ k＞0 $），则$ AB = AC + CB = 5k + 2k = 7k $，所以$ AC:AB = 5k:7k = 5:7 $。
(2) 因为点$ C $在线段$ AB $的延长线上，$ AC:CB = 5:2 $，设$ AC = 5k $，$ CB = 2k $（$ k＞0 $），则$ AB = AC - CB = 5k - 2k = 3k $，所以$ AC:AB = 5k:3k = 5:3 $。
【答案】
(1) $ 5:7 $；(2) $ 5:3 $
【知识点】
线段比例计算，线段和差
【点评】
本题考查线段位置与比例的关系，通过设参数利用线段和差求解比例，需根据点的位置准确判断线段间的数量关系。

4. 在菱形 $ ABCD $ 中，$ ∠ BAD = 60^{\circ} $，则 $ BD:AC = $.

​1：$​​\sqrt 3​$

【解析】
设菱形ABCD的边长为a，
因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
所以△ABD是等边三角形，BD=AB=a，
菱形对角线互相垂直平分，设AC与BD交于点O，
则BO=BD/2=a/2，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AO=√(AB² - BO²)=√(a² - (a/2)²)= (√$\frac{3}{2}$)a，
所以AC=2AO=√3 a，
因此BD:AC=a:√3 a=1:√3。
【答案】
$1:\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，等边三角形判定
【点评】
本题考查菱形性质的综合应用，通过菱形对角线的性质结合勾股定理求解线段比值，关键是利用60°角构造等边三角形简化计算。

5. 如图，点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上，且 $ AC^{2} = AB · BC $. 如果 $ BC = 2 $，那么 $ AC = $.

$​\sqrt 5+1​$

【解析】
设 $ AC = x $，则 $ AB = AC + BC = x + 2 $。
根据题意 $ AC^2 = AB · BC $，代入得：
$ x^2 = 2(x + 2) $
整理得：$ x^2 - 2x - 4 = 0 $
由求根公式解得 $ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = 1 \pm \sqrt{5} $。
因为线段长度为正数，舍去负根，得 $ x = 1 + \sqrt{5} $，即 $ AC = \sqrt{5} + 1 $。
【答案】
$\boldsymbol{\sqrt{5}+1}$
【知识点】
黄金分割、一元二次方程的解法
【点评】
本题考查黄金分割的定义，通过设未知数建立一元二次方程求解线段长度，需注意线段长度为正，舍去不符合题意的负根，体现了方程思想的应用。

6. (1)已知数 $ 3 $、$ 6 $，请再写 $ 1 $ 个数，使这 $ 3 $ 个数中的 $ 1 $ 个数是另外 $ 2 $ 个数的比例中项，这个数可以是(写 $ 1 $ 个数即可)；
(2)已知数 $ 3 $、$ 6 $，请再写 $ 2 $ 个数 $ x $、$ y $，使 $ 3 $、$ 6 $、$ x $、$ y $ 成比例，这里的 $ x $、$ y $ 可以是(分别写 $ 1 $ 个数即可).

12
x=1，y=2

【解析】
(1) 设所求数为$a$，根据比例中项的定义分三种情况计算：
① 当$3$是$6$与$a$的比例中项时，$3^2 = 6a$，解得$a=\frac{3}{2}$；
② 当$6$是$3$与$a$的比例中项时，$6^2 = 3a$，解得$a=12$；
③ 当$a$是$3$与$6$的比例中项时，$a^2=3×6$，解得$a=±3\sqrt{2}$。
任选一个符合条件的数即可，如12。
(2) 根据成比例的定义，若$3$、$6$、$x$、$y$成比例，则$\frac{3}{6}=\frac{x}{y}$，取$x=1$，则$y=2$（答案不唯一）。
【答案】
(1) $12$；(2) $x=1$，$y=2$
【知识点】
比例中项定义；成比例线段
【点评】
本题考查比例相关概念，比例中项需分情况讨论，成比例线段满足对应比值相等，答案具有开放性，合理即可。

7. 如图，$ AB:AC = BD:DC $，且 $ AB = 6 $，$ AC = 4 $，$ BC = 5 $. 求 $ BD $、$ DC $ 的长.

解：
∵​BD+DC=BC=5 ​
又$​\frac {BD}{DC}=\frac {AB}{AC}=\frac {6}{4}=\frac {3}{2} ​$
∴​BD=3，​​DC=2​

【解析】
∵ $BD + DC = BC = 5$，
又$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，
即BD与DC的长度比为$3:2$，结合$BD+DC=5$，可得每份长度为1，
∴ $BD = 3$，$DC = 2$。
【答案】
$BD = 3$，$DC = 2$
【知识点】
比例的性质，线段和差
【点评】
本题考查比例性质与线段和差的综合应用，解题关键是将线段比例与线段总长结合，利用份数法快速求解线段长度，是比例性质在几何线段中的基础应用，思路简洁易懂。