8. 如图，$ ∠ DCE = 90^{\circ} $，甲、乙两个机器人同时从点 $ C $ 出发，分别沿 $ CD $、$ CE $ 方向前进. 若甲的速度为 $ 12 \mathrm{ cm/s} $，乙的速度为 $ 9 \mathrm{ cm/s} $，经过 $ t \mathrm{ s} $ 后，甲、乙分别到达点 $ A $、$ B $ 处.
（1）求 $ \frac{AC}{BC} $ 的值；
（2）当 $ t $ 为何值时，$ AB = 60 \mathrm{ cm} $?

解：$​(1)\frac {AC}{BC}=\frac {12}{9}=\frac {4}{3}​$
​(2)t=1s​时，$​AC=12\ \mathrm {cm}$，$​​BC=9\ \mathrm {cm}​$
∵​∠DCE=90°​
∴$​AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=15(\mathrm {cm})​$
$​60÷15=4(\mathrm {s})​$
∴当​t=4s​时，$​AB=60(\mathrm {cm})​$

【解析】
（1）根据路程=速度×时间，可得$AC=12t\ \mathrm{cm}$，$BC=9t\ \mathrm{cm}$，则$\frac{AC}{BC}=\frac{12t}{9t}=\frac{4}{3}$；
（2）当$t=1\ \mathrm{s}$时，$AC=12\ \mathrm{cm}$，$BC=9\ \mathrm{cm}$，
∵$∠ DCE=90^{\circ}$，
∴由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15\ \mathrm{cm}$，
当$AB=60\ \mathrm{cm}$时，$60÷15=4$，即$t=4\ \mathrm{s}$。
【答案】
（1）$\frac{4}{3}$；（2）$t=4\ \mathrm{s}$
【知识点】
勾股定理、路程速度时间关系
【点评】
本题考查勾股定理的实际应用及路程公式的运用，结合直角三角形的性质求解，注重基础知识点的综合运用，难度适中。

9. 如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 2 $，$ E $ 是 $ AB $ 的中点，点 $ H $ 在 $ BA $ 的延长线上，且 $ EH = ED $，四边形 $ AFGH $ 是正方形.
（1）求 $ AF $、$ DF $ 的长.
（2）点 $ F $ 是 $ AD $ 的黄金分割点吗？为什么？

解：​(1)​
∵​AD=2，​​AE=1，​​∠DAE=90°​
∴$​DE=\sqrt 5​$
∴$​EH=\sqrt 5$，$​​AF=AH=\sqrt 5-1$，​
$​DF=2-(\sqrt 5-1)=3-\sqrt 5​$
​(2)​由$​AF^2=(\sqrt 5-1)^2=6-2\sqrt 5​$
$​AD · DF=2(3-\sqrt 5)=6-2\sqrt 5​$
∴$​AF^2=AD · DF$，​即$​\frac {AF}{AD}=\frac {DF}{AF}​$
∴点​F ​是​AD​的黄金分割点

【解析】
(1) 已知正方形$ABCD$的边长为2，$E$是$AB$的中点，所以$AD=2$，$AE=1$，$∠ DAE=90°$。
根据勾股定理，$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
因为$EH=ED$，所以$EH=\sqrt{5}$，又因为四边形$AFGH$是正方形，所以$AF=AH=EH-AE=\sqrt{5}-1$。
$DF=AD-AF=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。
(2) 计算$AF^2=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$，
$AD· DF=2×(3-\sqrt{5})=6-2\sqrt{5}$，
所以$AF^2=AD· DF$，即$\frac{AF}{AD}=\frac{DF}{AF}$，根据黄金分割点的定义，可知点$F$是$AD$的黄金分割点。
【答案】
(1) $AF=\sqrt{5}-1$，$DF=3-\sqrt{5}$；
(2) 点$F$是$AD$的黄金分割点，理由见解析。
【知识点】
勾股定理、正方形的性质、黄金分割点的定义
【点评】
本题综合考查正方形的性质、勾股定理以及黄金分割点的判定，需要熟练运用相关定理进行线段长度计算，并通过验证线段间的比例关系判断黄金分割点，提升综合运用知识解决几何问题的能力。