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例1 如图8.2.7，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F.求证：四边形AEDF是菱形.
答案
证明：
∵ DE//AC，DF//AB，
∴ 四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠EAD = ∠FAD。
∵ DE//AC，
∴ ∠EDA = ∠FAD（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠EAD = ∠EDA，
∴ AE = DE（等角对等边）。
∴ 平行四边形AEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
∵ DE//AC，DF//AB，
∴ 四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠EAD = ∠FAD。
∵ DE//AC，
∴ ∠EDA = ∠FAD（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠EAD = ∠EDA，
∴ AE = DE（等角对等边）。
∴ 平行四边形AEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
例2 如图8.2.8，四边形ABCD是矩形，直线EF是对角线AC的垂直平分线，交边AD于点E，交边BC于点F.四边形AECF是菱形吗？说明你的理由.
答案
解：四边形AECF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF.
∵直线EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AO=CO，AC⊥EF.
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF\\AO=CO\\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF.
又∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF.
∵直线EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AO=CO，AC⊥EF.
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF\\AO=CO\\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF.
又∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形.
1. 如图，已知四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()
A.AC⊥BD
B.AC=BD
C.AB=AD
D.∠BAC=∠DAC
A.AC⊥BD
B.AC=BD
C.AB=AD
D.∠BAC=∠DAC
答案
B
解析
已知四边形ABCD对角线互相平分，故ABCD是平行四边形。
选项A：平行四边形对角线互相垂直，可判定为菱形；
选项B：平行四边形对角线相等，判定为矩形，不能判定为菱形；
选项C：平行四边形一组邻边相等，可判定为菱形；
选项D：∵AD//BC，∴∠DAC=∠BCA，又∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠BCA，得AB=BC，邻边相等的平行四边形是菱形，可判定为菱形。
综上，不能判定四边形ABCD为菱形的是选项B。
选项A：平行四边形对角线互相垂直，可判定为菱形；
选项B：平行四边形对角线相等，判定为矩形，不能判定为菱形；
选项C：平行四边形一组邻边相等，可判定为菱形；
选项D：∵AD//BC，∴∠DAC=∠BCA，又∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠BCA，得AB=BC，邻边相等的平行四边形是菱形，可判定为菱形。
综上，不能判定四边形ABCD为菱形的是选项B。
