7. 如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.
（1）求证：AM=DM.
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长.

（1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC平分∠BAD，即∠EAG=∠MAG，
∵EF⊥AC，
∴∠AGE=∠AGM=90°，
在△AEG和△AMG中，
$\{\begin{array}{l}∠EAG=∠MAG \\AG=AG \\∠AGE=∠AGM\end{array} $
∴△AEG≌△AMG（ASA），
∴AE=AM，
∵E是AB的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，
又∵AB=AD，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD，
∴AM=DM。
（2）解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，
∴∠F=∠AEM，
在△FMD和△EMA中，
$\{\begin{array}{l}∠F=∠AEM \\∠FMD=∠EMA \\DM=AM\end{array} $
∴△FMD≌△EMA（AAS），
∴DF=AE，
∵DF=2，
∴AE=2，
∵E是AB的中点，
∴AB=2AE=4，
∴菱形ABCD的周长=4×AB=4×4=16。

8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形.
（2）连接OE，若AD=5，EC=2，求OE的长.

（1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵CF=BE，
∴BE+EC=EC+CF，即BC=EF。
∴AD=EF，且AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形。
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴平行四边形AEFD是矩形。
（2）解：
∵四边形ABCD是菱形，AD=5，
∴AB=BC=AD=5。
∵EC=2，
∴BE=BC-EC=5-2=3。
∵AE⊥BC，在Rt△ABE中，
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
在Rt△AEC中，
$AC=\sqrt{AE^2+EC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴O为AC的中点。
又∵△AEC是直角三角形，
∴$OE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$。