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巩固提升 当 $ x $ 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) $ \sqrt{x + 1} + x^0 $；
(2) $ \sqrt{4 - x^2} + \sqrt{x^2 - 4} $。
(1) $ \sqrt{x + 1} + x^0 $；
(2) $ \sqrt{4 - x^2} + \sqrt{x^2 - 4} $。
答案
(1) 对于 $\sqrt{x + 1} + x^0$：
要使 $\sqrt{x + 1}$ 有意义，则 $x + 1 ≥ 0$，即 $x ≥ -1$，
要使 $x^0$ 有意义，则 $x ≠ 0$，
综上，$x ≥ -1$ 且 $x ≠ 0$。
(2) 对于 $\sqrt{4 - x^2} + \sqrt{x^2 - 4}$：
要使 $\sqrt{4 - x^2}$ 有意义，则 $4 - x^2 ≥ 0$，即 $-2 ≤ x ≤ 2$，
要使 $\sqrt{x^2 - 4}$ 有意义，则 $x^2 - 4 ≥ 0$，即 $x ≤ -2$ 或 $x ≥ 2$，
综上，$x = -2$ 或 $x = 2$，
故$x$ 的取值为 $x = \pm 2$。
要使 $\sqrt{x + 1}$ 有意义，则 $x + 1 ≥ 0$，即 $x ≥ -1$，
要使 $x^0$ 有意义，则 $x ≠ 0$，
综上，$x ≥ -1$ 且 $x ≠ 0$。
(2) 对于 $\sqrt{4 - x^2} + \sqrt{x^2 - 4}$：
要使 $\sqrt{4 - x^2}$ 有意义，则 $4 - x^2 ≥ 0$，即 $-2 ≤ x ≤ 2$，
要使 $\sqrt{x^2 - 4}$ 有意义，则 $x^2 - 4 ≥ 0$，即 $x ≤ -2$ 或 $x ≥ 2$，
综上，$x = -2$ 或 $x = 2$，
故$x$ 的取值为 $x = \pm 2$。
例2 (1) 已知 $ \sqrt{x + 2} + 2(y - 3)^2 = 0 $，则 $ \sqrt{-3xy} = $。
(2) 若 $ 2\sqrt{4 - a} + \dfrac{5}{3}\sqrt{a - 4} = b + 2 $，求 $ (-a)^b $ 的值。
(2) 若 $ 2\sqrt{4 - a} + \dfrac{5}{3}\sqrt{a - 4} = b + 2 $，求 $ (-a)^b $ 的值。
答案
(1)
因为$\sqrt{x + 2}≥0$，$(y - 3)^2≥0$，且$\sqrt{x + 2}+2(y - 3)^2 = 0$，
所以$\begin{cases}x + 2 = 0\\y - 3 = 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=-2\\y = 3\end{cases}$。
当$x = - 2$，$y = 3$时，$\sqrt{-3xy}=\sqrt{-3×(-2)×3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
(2)
因为$4 - a≥0$，$a - 4≥0$，
所以$a = 4$。
把$a = 4$代入$2\sqrt{4 - a}+\frac{5}{3}\sqrt{a - 4}=b + 2$中，得$0=b + 2$，
解得$b=-2$。
当$a = 4$，$b = - 2$时，$(-a)^b=(-4)^{-2}=\frac{1}{16}$。
综上，答案依次为：(1)$3\sqrt{2}$；(2)$\frac{1}{16}$。
因为$\sqrt{x + 2}≥0$，$(y - 3)^2≥0$，且$\sqrt{x + 2}+2(y - 3)^2 = 0$，
所以$\begin{cases}x + 2 = 0\\y - 3 = 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=-2\\y = 3\end{cases}$。
当$x = - 2$，$y = 3$时，$\sqrt{-3xy}=\sqrt{-3×(-2)×3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
(2)
因为$4 - a≥0$，$a - 4≥0$，
所以$a = 4$。
把$a = 4$代入$2\sqrt{4 - a}+\frac{5}{3}\sqrt{a - 4}=b + 2$中，得$0=b + 2$，
解得$b=-2$。
当$a = 4$，$b = - 2$时，$(-a)^b=(-4)^{-2}=\frac{1}{16}$。
综上，答案依次为：(1)$3\sqrt{2}$；(2)$\frac{1}{16}$。
巩固提升 设 $ a $，$ b $ 为实数，且 $ |\sqrt{2} - a| + \sqrt{b - 2} = 0 $，则 $ a^2 - 2\sqrt{2}a + 2 + b^2 = $。
答案
4
解析
由于 $|\sqrt{2} - a| + \sqrt{b - 2} = 0$，根据非负数性质知，绝对值与平方根都为非负数，故两项都为0时，其和才能为0。
所以有：
$\sqrt{2} - a = 0$，
$b - 2 = 0$，
解得：
$a = \sqrt{2}$，
$b = 2$，
将 $a = \sqrt{2}$， $b = 2$，代入 $a^2 - 2\sqrt{2}a + 2 + b^2$得：
$(\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} × \sqrt{2} + 2 + 2^2$
$= 2 - 4 + 2 + 4$
$= 4$
所以有：
$\sqrt{2} - a = 0$，
$b - 2 = 0$，
解得：
$a = \sqrt{2}$，
$b = 2$，
将 $a = \sqrt{2}$， $b = 2$，代入 $a^2 - 2\sqrt{2}a + 2 + b^2$得：
$(\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} × \sqrt{2} + 2 + 2^2$
$= 2 - 4 + 2 + 4$
$= 4$
例3 化简：
(1) $ \sqrt{180} $；
(2) $ \sqrt{3\dfrac{2}{5}} $；
(3) $ \sqrt{32a^3} $；
(4) $ \sqrt{\dfrac{3a^4}{12a}} $。
(1) $ \sqrt{180} $；
(2) $ \sqrt{3\dfrac{2}{5}} $；
(3) $ \sqrt{32a^3} $；
(4) $ \sqrt{\dfrac{3a^4}{12a}} $。
答案
(1) $\sqrt{180}=\sqrt{36×5}=\sqrt{36}×\sqrt{5}=6\sqrt{5}$
(2) $\sqrt{3\dfrac{2}{5}}=\sqrt{\dfrac{17}{5}}=\dfrac{\sqrt{17}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{17}×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{85}}{5}$
(3) $\sqrt{32a^3}=\sqrt{16a^2·2a}=\sqrt{16a^2}·\sqrt{2a}=4a\sqrt{2a}$（$a≥0$）
(4) $\sqrt{\dfrac{3a^4}{12a}}=\sqrt{\dfrac{a^3}{4}}=\dfrac{\sqrt{a^3}}{\sqrt{4}}=\dfrac{a\sqrt{a}}{2}$（$a＞0$）
(2) $\sqrt{3\dfrac{2}{5}}=\sqrt{\dfrac{17}{5}}=\dfrac{\sqrt{17}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{17}×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{85}}{5}$
(3) $\sqrt{32a^3}=\sqrt{16a^2·2a}=\sqrt{16a^2}·\sqrt{2a}=4a\sqrt{2a}$（$a≥0$）
(4) $\sqrt{\dfrac{3a^4}{12a}}=\sqrt{\dfrac{a^3}{4}}=\dfrac{\sqrt{a^3}}{\sqrt{4}}=\dfrac{a\sqrt{a}}{2}$（$a＞0$）
巩固提升 化简求值：$ \dfrac{a^2 - b^2}{2a + 2b} $。其中 $ a = 2 - \sqrt{3} $，$ b = 2 + \sqrt{3} $。
答案
化简过程：
$\begin{aligned}\frac{a^2 - b^2}{2a + 2b}&=\frac{(a+b)(a-b)}{2(a+b)} \quad \mathrm{(平方差公式：}a^2 - b^2=(a+b)(a-b)\mathrm{；提取公因式：}2a+2b=2(a+b)\mathrm{)}\\&=\frac{a - b}{2} \quad \mathrm{(约去公因式}(a+b)\mathrm{，其中}a+b≠0\mathrm{)}\end{aligned}$
代入求值：
当 $a = 2 - \sqrt{3}$，$b = 2 + \sqrt{3}$ 时，
$\begin{aligned}a - b&=(2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3})\\&=2 - \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3}\\&=-2\sqrt{3}\end{aligned}$
则 $\frac{a - b}{2}=\frac{-2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$
最终结论：$-\sqrt{3}$
$\begin{aligned}\frac{a^2 - b^2}{2a + 2b}&=\frac{(a+b)(a-b)}{2(a+b)} \quad \mathrm{(平方差公式：}a^2 - b^2=(a+b)(a-b)\mathrm{；提取公因式：}2a+2b=2(a+b)\mathrm{)}\\&=\frac{a - b}{2} \quad \mathrm{(约去公因式}(a+b)\mathrm{，其中}a+b≠0\mathrm{)}\end{aligned}$
代入求值：
当 $a = 2 - \sqrt{3}$，$b = 2 + \sqrt{3}$ 时，
$\begin{aligned}a - b&=(2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3})\\&=2 - \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3}\\&=-2\sqrt{3}\end{aligned}$
则 $\frac{a - b}{2}=\frac{-2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$
最终结论：$-\sqrt{3}$
例4 计算：
(1) $ ( \sqrt{54} - \sqrt{\dfrac{3}{2}} ) - ( \dfrac{1}{3}\sqrt{96} - 5\sqrt{\dfrac{3}{50}} ) $；
(2) $ 3\sqrt{48} × \dfrac{\sqrt{6}}{2} ÷ \dfrac{3}{5}\sqrt{2} $；
(3) $ ( \dfrac{1}{3}\sqrt{4\dfrac{1}{2}} + \sqrt{1\dfrac{1}{3}} )^2 ÷ \dfrac{\sqrt{2}}{3} $；
(4) $ (\sqrt{3} + 1)^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2(8 - 2\sqrt{15}) $。
(1) $ ( \sqrt{54} - \sqrt{\dfrac{3}{2}} ) - ( \dfrac{1}{3}\sqrt{96} - 5\sqrt{\dfrac{3}{50}} ) $；
(2) $ 3\sqrt{48} × \dfrac{\sqrt{6}}{2} ÷ \dfrac{3}{5}\sqrt{2} $；
(3) $ ( \dfrac{1}{3}\sqrt{4\dfrac{1}{2}} + \sqrt{1\dfrac{1}{3}} )^2 ÷ \dfrac{\sqrt{2}}{3} $；
(4) $ (\sqrt{3} + 1)^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2(8 - 2\sqrt{15}) $。
答案
(1) 原式$=3\sqrt{6}-\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{4\sqrt{6}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{2}$
$=3\sqrt{6}-\frac{4\sqrt{6}}{3}$
$=\frac{9\sqrt{6}}{3}-\frac{4\sqrt{6}}{3}$
$=\frac{5\sqrt{6}}{3}$
(2) 原式$=3×4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{5}{3\sqrt{2}}$
$=12\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{5}{3\sqrt{2}}$
$=6\sqrt{18}×\frac{5}{3\sqrt{2}}$
$=6×3\sqrt{2}×\frac{5}{3\sqrt{2}}$
$=18\sqrt{2}×\frac{5}{3\sqrt{2}}$
$=30$
(3) 原式$=(\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3})^2×\frac{3}{\sqrt{2}}$
$=(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3})^2×\frac{3}{\sqrt{2}}$
$=(\frac{1}{2}+\frac{2\sqrt{6}}{3}+\frac{4}{3})×\frac{3}{\sqrt{2}}$
$=(\frac{11}{6}+\frac{2\sqrt{6}}{3})×\frac{3}{\sqrt{2}}$
$=\frac{11}{6}×\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{2\sqrt{6}}{3}×\frac{3}{\sqrt{2}}$
$=\frac{11\sqrt{2}}{4}+2\sqrt{3}$
(4) 原式$=3+2\sqrt{3}+1-[(8+2\sqrt{15})(8-2\sqrt{15})]$
$=4+2\sqrt{3}-(64-60)$
$=4+2\sqrt{3}-4$
$=2\sqrt{3}$
$=3\sqrt{6}-\frac{4\sqrt{6}}{3}$
$=\frac{9\sqrt{6}}{3}-\frac{4\sqrt{6}}{3}$
$=\frac{5\sqrt{6}}{3}$
(2) 原式$=3×4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{5}{3\sqrt{2}}$
$=12\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{5}{3\sqrt{2}}$
$=6\sqrt{18}×\frac{5}{3\sqrt{2}}$
$=6×3\sqrt{2}×\frac{5}{3\sqrt{2}}$
$=18\sqrt{2}×\frac{5}{3\sqrt{2}}$
$=30$
(3) 原式$=(\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3})^2×\frac{3}{\sqrt{2}}$
$=(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3})^2×\frac{3}{\sqrt{2}}$
$=(\frac{1}{2}+\frac{2\sqrt{6}}{3}+\frac{4}{3})×\frac{3}{\sqrt{2}}$
$=(\frac{11}{6}+\frac{2\sqrt{6}}{3})×\frac{3}{\sqrt{2}}$
$=\frac{11}{6}×\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{2\sqrt{6}}{3}×\frac{3}{\sqrt{2}}$
$=\frac{11\sqrt{2}}{4}+2\sqrt{3}$
(4) 原式$=3+2\sqrt{3}+1-[(8+2\sqrt{15})(8-2\sqrt{15})]$
$=4+2\sqrt{3}-(64-60)$
$=4+2\sqrt{3}-4$
$=2\sqrt{3}$
巩固提升 计算：
(1) $ 2( \sqrt{24} - \dfrac{3}{2}\sqrt{5} ) - 3( \sqrt{125} + \sqrt{54} ) = $；
(2) $ \sqrt{2}(\sqrt{32} - 2\sqrt{2}) - ( \sqrt{24} - \sqrt{\dfrac{3}{2}} ) ÷ \sqrt{3} = $。
(1) $ 2( \sqrt{24} - \dfrac{3}{2}\sqrt{5} ) - 3( \sqrt{125} + \sqrt{54} ) = $；
(2) $ \sqrt{2}(\sqrt{32} - 2\sqrt{2}) - ( \sqrt{24} - \sqrt{\dfrac{3}{2}} ) ÷ \sqrt{3} = $。
答案
(1) $-5\sqrt{6}-18\sqrt{5}$；(2) $\frac{8-3\sqrt{2}}{2}$
解析
(1) 原式$=2\sqrt{24}-2×\frac{3}{2}\sqrt{5}-3\sqrt{125}-3\sqrt{54}$
$=2×2\sqrt{6}-3\sqrt{5}-3×5\sqrt{5}-3×3\sqrt{6}$
$=4\sqrt{6}-3\sqrt{5}-15\sqrt{5}-9\sqrt{6}$
$=(4\sqrt{6}-9\sqrt{6})+(-3\sqrt{5}-15\sqrt{5})$
$=-5\sqrt{6}-18\sqrt{5}$
(2) 原式$=\sqrt{2}×\sqrt{32}-\sqrt{2}×2\sqrt{2}-(\sqrt{24}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{3}{2}}÷\sqrt{3})$
$=\sqrt{64}-2×2-(\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}})$
$=8-4-(2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$=4-\frac{3\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{8-3\sqrt{2}}{2}$
$=2×2\sqrt{6}-3\sqrt{5}-3×5\sqrt{5}-3×3\sqrt{6}$
$=4\sqrt{6}-3\sqrt{5}-15\sqrt{5}-9\sqrt{6}$
$=(4\sqrt{6}-9\sqrt{6})+(-3\sqrt{5}-15\sqrt{5})$
$=-5\sqrt{6}-18\sqrt{5}$
(2) 原式$=\sqrt{2}×\sqrt{32}-\sqrt{2}×2\sqrt{2}-(\sqrt{24}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{3}{2}}÷\sqrt{3})$
$=\sqrt{64}-2×2-(\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}})$
$=8-4-(2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$=4-\frac{3\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{8-3\sqrt{2}}{2}$
