5. 计算：
(1) $ (2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) + (\sqrt{2} - 1)^2 $；
(2) $ (\sqrt{5} + \sqrt{2} + 1)(\sqrt{5} - \sqrt{2} - 1) $；
(3) $ (-\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - |\sqrt{6} - 3| $。

(1) 原式$=2^2-(\sqrt{6})^2+(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{2}×1+1^2$
$=4 - 6 + 2 - 2\sqrt{2} + 1$
$=1 - 2\sqrt{2}$
(2) 原式$=[\sqrt{5}+(\sqrt{2}+1)][\sqrt{5}-(\sqrt{2}+1)]$
$=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2}+1)^2$
$=5 - (2 + 2\sqrt{2} + 1)$
$=5 - 3 - 2\sqrt{2}$
$=2 - 2\sqrt{2}$
(3) 原式$=(-\sqrt{3}-\sqrt{2})(-\sqrt{3}+\sqrt{2})-(3 - \sqrt{6})$
$=(-\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2 - 3 + \sqrt{6}$
$=3 - 2 - 3 + \sqrt{6}$
$=\sqrt{6} - 2$

6. 磊磊打算把一批长为 $ (a + 2b) $ cm、宽为 $ (a + b) $ cm 的长方形纸板制成无盖的盒子。如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 $ \frac{1}{2}b $ cm 的小正方形，然后沿虚线折起粘贴即可。现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓。

(1) 制作一个这样的盒子至少需要多大面积的彩纸？
(2) 当 $ a = 6 + 2\sqrt{3} $，$ b = 6 - 2\sqrt{3} $ 时，制作一个这样的盒子至少需要多大面积的彩纸？

(1) 长方形纸板面积：$(a + 2b)(a + b) = a^2 + 3ab + 2b^2$，四个小正方形面积：$4×(\frac{1}{2}b)^2 = b^2$，彩纸面积：$a^2 + 3ab + 2b^2 - b^2 = a^2 + 3ab + b^2$。
(2) 当$a = 6 + 2\sqrt{3}$，$b = 6 - 2\sqrt{3}$时，$a + b = 12$，$ab = (6)^2 - (2\sqrt{3})^2 = 36 - 12 = 24$，$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 12^2 - 2×24 = 144 - 48 = 96$，则彩纸面积：$96 + 3×24 = 168$。
(1) $a^2 + 3ab + b^2$ cm²
(2) 168 cm²

7. 在进行二次根式化简时，我们有时会遇到形如 $ \frac{5}{\sqrt{3}} $，$ \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} $ 的式子，可以用如下的方法将其进一步化简：
$ \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 × \sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}; \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. $
这种化简的方法叫作分母有理化。
(1) 化简：① $ \frac{3}{\sqrt{2}} = $，
② $ \frac{4}{\sqrt{15} + \sqrt{7}} = $，
③ $ \frac{1}{5 - \sqrt{3}} = $；
(2) 已知 $ n $ 是正整数，化简：$ \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} $。

(1)①$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；②$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{7}}{2}$；③$\frac{5 + \sqrt{3}}{22}$；(2)$\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$

(1)①$\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
②$\frac{4}{\sqrt{15}+\sqrt{7}}=\frac{4(\sqrt{15}-\sqrt{7})}{(\sqrt{15}+\sqrt{7})(\sqrt{15}-\sqrt{7})}=\frac{4(\sqrt{15}-\sqrt{7})}{15 - 7}=\frac{4(\sqrt{15}-\sqrt{7})}{8}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{7}}{2}$
③$\frac{1}{5 - \sqrt{3}}=\frac{5 + \sqrt{3}}{(5 - \sqrt{3})(5 + \sqrt{3})}=\frac{5 + \sqrt{3}}{25 - 3}=\frac{5 + \sqrt{3}}{22}$
(2)$\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(n + 1) - n}=\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$

例1 当 $ x $ 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) $ \sqrt{2x - 1} $；
(2) $ \dfrac{x}{\sqrt{x + 5}} $；
(3) $ \dfrac{x + 3}{x - 2} $；
(4) $ \dfrac{(x - 3)^0}{\sqrt{x + 5}} $。

(1)
要使$\sqrt{2x - 1}$有意义，则被开方数$2x - 1≥0$，
解$2x - 1≥0$得$2x≥1$，$x≥\frac{1}{2}$。
当$x≥\frac{1}{2}$时，$\sqrt{2x - 1}$在实数范围内有意义。
(2)
要使$\frac{x}{\sqrt{x + 5}}$有意义，则分母$\sqrt{x + 5}≠0$且被开方数$x + 5＞0$，
解$x + 5＞0$得$x＞ - 5$。
当$x＞ - 5$时，$\frac{x}{\sqrt{x + 5}}$在实数范围内有意义。
(3)
要使$\frac{x + 3}{x - 2}$有意义，则分母$x - 2≠0$，
解得$x≠2$。
当$x≠2$时，$\frac{x + 3}{x - 2}$在实数范围内有意义。
(4)
因为零的零次幂没有意义，所以要使$\frac{(x - 3)^0}{\sqrt{x + 5}}$有意义，则$\begin{cases}(x - 3)≠0\\\sqrt{x + 5}≠0\\x + 5＞0\end{cases}$
由$x - 3≠0$得$x≠3$；由$\sqrt{x + 5}≠0$得$x + 5≠0$，即$x≠ - 5$；由$x + 5＞0$得$x＞ - 5$。
综上，当$x＞ - 5$且$x≠3$时，$\frac{(x - 3)^0}{\sqrt{x + 5}}$在实数范围内有意义。